I. Giới thiệu về phép cộng, trừ phân thức khác mẫu số

Phép cộng, trừ các phân thức đại số là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình toán lớp 8. Việc hiểu và nắm vững phương pháp cộng, trừ hai phân thức khác mẫu số không chỉ giúp học sinh giải quyết tốt các bài tập về phân thức mà còn tạo nền tảng cho các chủ đề đại số khó hơn sau này như phương trình, bất phương trình, giới hạn,… Đặc biệt, phép cộng trừ phân thức còn liên kết chặt chẽ với các khái niệm về phép quy đồng mẫu số, rút gọn phân thức và các tính chất cơ bản của phân số trong toán học.

II. Định nghĩa và khái niệm cơ bản

1. Phân thức đại số là biểu thức dưới dạng$\frac{A}{B}$, trong đó $A$và $B$là các đa thức,$B \ne 0$.

2. Khi cộng hoặc trừ hai phân thức khác mẫu số, tức là hai phân thức có mẫu số khác nhau, ta phải đưa chúng về cùng mẫu số sau đó mới thực hiện phép tính được.

III. Các bước cộng, trừ hai phân thức khác mẫu số

Giả sử cần tính$\frac{A}{B} + \frac{C}{D}$hoặc$\frac{A}{B} - \frac{C}{D}$:

• Bước 1: Tìm mẫu số chung của hai phân thức (thường là bội chung nhỏ nhất của$B$và $D$).
• Bước 2: Quy đồng mẫu số các phân thức về mẫu số chung vừa tìm được.
• Bước 3: Cộng (hoặc trừ) các tử số với nhau, giữ nguyên mẫu chung.
• Bước 4: Rút gọn kết quả nếu có thể.

IV. Ví dụ minh họa từng bước

Ví dụ 1: Tính tổng$\frac{x}{x+1} + \frac{2}{x-1}$.

• Bước 1: Mẫu số chung là $(x+1)(x-1)$.
• Bước 2: Quy đồng:
  $\frac{x}{x+1} = \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 - x}{(x+1)(x-1)}$
  $\frac{2}{x-1} = \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x + 2}{(x+1)(x-1)}$
• Bước 3: Cộng tử:
  $\frac{x^2 - x}{(x+1)(x-1)} + \frac{2x + 2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 - x + 2x + 2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 + x + 2}{(x+1)(x-1)}$

Ví dụ 2: Tính hiệu$\frac{3x}{x^2-4} - \frac{2}{x+2}$.

• Bước 1: Mẫu số chung là $x^2-4 = (x+2)(x-2)$.
• Bước 2: Quy đồng:
  $\frac{3x}{x^2-4}$giữ nguyên
  $\frac{2}{x+2} = \frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)}$
• Bước 3:
  $\frac{3x}{(x+2)(x-2)} - \frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{3x - 2(x-2)}{(x+2)(x-2)}$
• Tử số:$3x - 2x + 4 = x + 4$. Kết quả:$\frac{x+4}{(x+2)(x-2)}$

V. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu các phân thức đã cùng mẫu số thì cộng (hoặc trừ) trực tiếp tử số.
• Sau khi quy đồng, luôn kiểm tra và rút gọn phân thức nếu có thể.
• Kiểm tra điều kiện xác định (mẫu số khác 0).
• Có thể xuất hiện trường hợp mẫu số là các đa thức hợp (phải phân tích thành nhân tử trước khi lấy mẫu chung).

Ví dụ:$\frac{1}{x^2 - 1} + \frac{1}{x - 1}$với$x \ne \pm 1$.

Ta có $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$nên mẫu số chung là $(x+1)(x-1)$.

VI. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Quy đồng mẫu và rút gọn phân thức liên quan trực tiếp tới việc phân tích đa thức thành nhân tử, tìm bội chung nhỏ nhất.
- Việc cộng, trừ phân thức là nền tảng cho các dạng bài về giải phương trình, bất phương trình phân thức, hệ phương trình.

VII. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Tính$\frac{2x}{x+3} + \frac{x-1}{x-3}$, với$x \ne -3,3$.

• Mẫu số chung:$(x+3)(x-3)$.
• $\frac{2x}{x+3} = \frac{2x(x-3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{2x^2 - 6x}{(x+3)(x-3)}$
• $\frac{x-1}{x-3} = \frac{(x-1)(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x^2+3x-x-3}{(x+3)(x-3)} = \frac{x^2+2x-3}{(x+3)(x-3)}$
• Tổng:
  $\frac{2x^2-6x+x^2+2x-3}{(x+3)(x-3)} = \frac{3x^2-4x-3}{(x+3)(x-3)}$

Bài 2: Tính$\frac{x+2}{x^2+2x+1} - \frac{3}{x+1}$.
Mẫu số $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$, mẫu chung là $(x+1)^2$.

$\frac{x+2}{(x+1)^2}$giữ nguyên
$\frac{3}{x+1} = \frac{3(x+1)}{(x+1)^2}$

Hiệu:
$\frac{x+2 - 3(x+1)}{(x+1)^2} = \frac{x+2-3x-3}{(x+1)^2} = \frac{-2x-1}{(x+1)^2}$

VIII. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Không quy đồng mẫu hoặc quy đồng sai mẫu chung.
• Quên nhân cả tử và mẫu khi quy đồng.
• Không rút gọn kết quả sau khi cộng/trừ.
• Không kiểm tra điều kiện xác định của phân thức.
• Bị nhầm dấu khi trừ các phân thức.

IX. Tóm tắt và điểm quan trọng cần nhớ

• 1. Muốn cộng, trừ hai phân thức khác mẫu cần quy đồng mẫu số.
• 2. Cộng hoặc trừ các tử số, giữ nguyên mẫu số chung.
• 3. Kết quả nên rút gọn phân thức nếu có thể.
• 4. Luôn kiểm tra điều kiện xác định (các giá trị làm mẫu số bằng 0 không được phép).
• 5. Quy đồng mẫu và thao tác cộng, trừ phân thức là nền tảng cho các kiến thức đại số sau này.