1. Giới thiệu về đồ thị của hàm số bậc nhất

Trong chương trình Toán 8, đồ thị của hàm số bậc nhất là một chủ đề quan trọng, không chỉ giúp học sinh làm quen với các khái niệm về hàm số, mà còn là nền tảng để học các hàm số bậc cao hơn ở những lớp sau. Việc hiểu rõ về đồ thị của hàm số bậc nhất giúp các em có khả năng phân tích, dự đoán cũng như giải các bài toán thực tiễn trong cuộc sống lẫn các bài tập học thuật.

2. Định nghĩa hàm số bậc nhất và đồ thị của nó

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng tổng quát:

$y = ax + b$

Trong đó:

$a$ là hệ số góc (a ≠ 0)

$b$ là hệ số tự do (có thể bằng 0)

Đồ thị của hàm số bậc nhất chính là một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Mỗi giá trị $x$sẽ xác định một giá trị duy nhất của$y$, do đó đồ thị sẽ là tập hợp vô hạn các điểm$(x, y)$thẳng hàng.

3. Giải thích từng bước cách vẽ đồ thị với ví dụ minh họa

Để vẽ được đồ thị của hàm số bậc nhất, hãy làm theo các bước sau:

- Bước 1: Chọn hai giá trị của$x$, tính giá trị tương ứng của$y$.

- Bước 2: Xác định hai điểm$(x_1, y_1)$và $(x_2, y_2)$trên mặt phẳng$Oxy$.

- Bước 3: Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó. Đường thẳng này chính là đồ thị hàm số.

Ví dụ minh họa

Cho hàm số $y = 2x + 1$. Hãy vẽ đồ thị của hàm số này.

Chọn$x = 0$:$y = 2·0 + 1 = 1$⟶ Điểm$A(0,1)$.
Chọn$x = 1$:$y = 2·1 + 1 = 3$⟶ Điểm$B(1,3)$.

Nối hai điểm$A$và $B$, kéo dài đường thẳng: Bạn đã vẽ được đồ thị của hàm số bậc nhất!

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Trường hợp$a > 0$: Đường thẳng đi lên từ trái sang phải (đồng biến).

• Trường hợp$a < 0$: Đường thẳng đi xuống từ trái sang phải (nghịch biến).

• Hệ số $b$cho biết giao điểm của đường thẳng với trục$Oy$: Khi$x = 0$,$y = b$.

• Đồ thị KHÔNG bao giờ song song với trục$Oy$(vì nếu$a = 0$thì hàm số không còn là bậc nhất mà là hàm hằng).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Đồ thị hàm số bậc nhất có liên hệ chặt chẽ với các khái niệm như:

+ Hàm số đồng biến, nghịch biến.

+ Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng.

+ Tính chất của phương trình bậc nhất hai ẩn.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1

Vẽ đồ thị hàm số $y = -3x + 2$.

Giải:

- Chọn$x = 0$:$y = -3·0 + 2 = 2$→ Điểm$A(0,2)$.

- Chọn$x = 1$:$y = -3·1 + 2 = -1$→ Điểm$B(1,-1)$.

Nối$A$và $B$, ta được đồ thị hàm số đã cho.

Bài tập 2

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm$M(1, 4)$và $N(3, 8)$.

Giải:

- Tính hệ số góc$a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-4}{3-1} = 2$. Hàm số có dạng$y = 2x + b$.

- Thay$M(1,4)$vào:$4 = 2·1 + b \Rightarrow b = 2$.
Vậy phương trình là $y = 2x + 2$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Vẽ thiếu chính xác các điểm do sai phép tính$y$tương ứng với$x$.

• Chỉ xác định một điểm rồi vẽ đường thẳng (cần ít nhất 2 điểm khác nhau).

• Nhầm lẫn giữa hàm số bậc nhất và hàm số hằng (khi$a=0$, không còn là bậc nhất).

• Không chú ý hệ số góc$a$ để xác định chiều đi lên/đi xuống của đường thẳng.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Hàm số bậc nhất có dạng$y = ax + b$với$a \neq 0$.

• Đồ thị là đường thẳng, đi lên nếu$a > 0$, đi xuống nếu$a < 0$.

• Muốn vẽ đồ thị: chọn hai giá trị $x$, tính$y$tương ứng, xác định 2 điểm rồi kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

• Nếu thuộc lòng các bước trên, việc giải bài tập về đồ thị của hàm số bậc nhất sẽ trở nên đơn giản và thú vị!