1. Giới thiệu về khái niệm hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)

Trong chương trình Toán lớp 8, "Bài 3. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)" đóng vai trò rất quan trọng, tạo nền tảng vững chắc cho việc học các khái niệm đại số hiện đại hơn. Việc nắm vững hàm số bậc nhất giúp các em dễ dàng học tiếp về hàm số bậc hai, các dạng đồ thị, phương trình và những ứng dụng thực tế trong các môn học liên quan, đặc biệt là Vật lý và Hóa học ở bậc phổ thông.

2. Định nghĩa hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng tổng quát:

$y = a x + b$

trong đó:

-$x$là biến số
-$a$là hệ số góc (hệ số thực khác 0:$a \neq 0$)
-$b$là hằng số (có thể nhận mọi giá trị thực)

Hàm số bậc nhất có tập xác định là tập hợp tất cả các số thực.

3. Giải thích chi tiết và ví dụ minh họa

a) Ý nghĩa của hệ số $a$và $b$
-$a$(hệ số góc): Quyết định "độ dốc" của đường thẳng trên đồ thị. Nếu$a > 0$, đường thẳng đi lên; nếu$a < 0$, đường thẳng đi xuống.
-$b$(hệ số tự do): Là tung độ gốc, nghĩa là điểm mà đường thẳng cắt trục tung (trục$Oy$).

b) Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b

Để vẽ được đồ thị hàm số $y = a x + b$, chỉ cần xác định hai điểm bất kỳ thuộc đồ thị rồi nối chúng lại, vì đồ thị là một đường thẳng.

Bước 1: Chọn x = 0 để tìm tung độ gốc:$y_1 = a \times 0 + b = b \rightarrow (0; b)$

Bước 2: Chọn x = 1 để xác định tiếp điểm:$y_2 = a \times 1 + b = a + b \rightarrow (1; a + b)$

Bước 3: Nối hai điểm$(0; b)$và $(1; a + b)$, kéo dài tạo thành đường thẳng.

Ví dụ 1: Cho hàm số $y = 2x + 3$

- Khi$x = 0: y = 2 \times 0 + 3 = 3 \rightarrow (0; 3)$
- Khi$x = 1: y = 2 \times 1 + 3 = 5 \rightarrow (1; 5)$
Vẽ đường thẳng qua hai điểm$(0; 3)$và $(1; 5)$.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y = -x + 2$

- Khi$x = 0: y = 2 \rightarrow (0; 2)$
- Khi$x = 1: y = -1 + 2 = 1 \rightarrow (1; 1)$
Vẽ đường thẳng qua hai điểm$(0; 2)$và $(1; 1)$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu$a > 0$: Đường thẳng đi lên (hàm số đồng biến).

- Nếu$a < 0$: Đường thẳng đi xuống (hàm số nghịch biến).

- Nếu$b = 0$: Đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O(0, 0)$.

- Nếu$b \neq 0$: Đường thẳng cắt trục tung tại điểm$(0; b)$.

Lưu ý: Nếu$a = 0$thì $y = b$, là hàm số hằng (không phải hàm số bậc nhất theo định nghĩa ở đây).

5. Mối liên hệ với các khái niệm khác

Hàm số bậc nhất là nền tảng của các khái niệm hàm số (hàm số tuyến tính, hàm số đồng biến/nghịch biến), là hình mẫu cơ bản về sự phụ thuộc tuyến tính giữa hai đại lượng. Hàm số này liên hệ chặt chẽ với:
- Phương trình bậc nhất hai ẩn:$ax + by + c = 0$có dạng đồ thị là đường thẳng.
- Bài toán chuyển động đều, công việc đều, các bài toán thực tế mô tả mối liên hệ tỉ lệ.
- Dẫn dắt trực tiếp tới hàm số bậc hai ($y = ax^2 + bx + c$) ở các lớp học cao hơn.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Xác định đồ thị của hàm số $y = 3x - 2$

Giải:
- Khi$x = 0: y = -2 -> (0;-2)$
- Khi$x = 1: y = 3 - 2 = 1 -> (1;1)$
Vẽ đường thẳng qua hai điểm$(0;-2)$và $(1;1)$.

Bài 2: Xác định hàm số bậc nhất biết đồ thị đi qua hai điểm$A(1; 4)$và $B(3; 8)$

Giải:
Gọi hàm số $y = ax + b$. Vì đồ thị đi qua$A(1;4)$và $B(3;8)$nên:
- Với$x=1, y=4$:$4 = a \times 1 + b$
- Với$x=3, y=8$:$8 = a \times 3 + b$

Lập hệ phương trình:

Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên:$2a = 4 \rightarrow a = 2$. Thay vào:$2 + b = 4 \rightarrow b = 2$.

Vậy hàm số cần tìm là $y = 2x + 2$.

Bài 3: Cho hàm số $y = -2x + 1$. Hỏi hàm số đi qua điểm nào trong các điểm sau:$M(1; -1), N(0; 1), P(-1; 3)$?

Giải: Thay tọa độ từng điểm vào công thức$y = -2x + 1$:
- Với$M(1;-1):$y = -2 \times 1 + 1 = -1$(đúng)<br />- Với$N(0;1):$y = -2 \times 0 + 1 = 1$(đúng)
- Với$P(-1;3):$y = -2 \times (-1) + 1 = 2 + 1 = 3$(đúng)

Kết luận: Cả ba điểm M, N, P đều thuộc đồ thị.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn giữa$a$và $b$trong công thức.

- Không chú ý $a \neq 0$(nếu$a = 0$thì không còn là hàm số bậc nhất mà là hàm hằng).

- Khi vẽ đồ thị, xác định sai điểm hoặc nối không đúng hai điểm.

- Bỏ quên trường hợp hệ số $a$là số âm, dẫn đến nhận định sai về chiều của đường thẳng.

Để tránh các lỗi này, học sinh cần cẩn thận khi thay số vào công thức, kiểm tra tính toán và hiểu được ý nghĩa từng hệ số.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hàm số bậc nhất có dạng$y = ax + b$với$a \neq 0$.

- Đồ thị là một đường thẳng.

- Hiểu và áp dụng đúng ý nghĩa của hệ số $a$(hệ số góc) và $b$(tung độ gốc).

- Chú ý xác định đúng các điểm khi vẽ đồ thị.

- Tránh các nhầm lẫn về công thức, dấu và ý nghĩa hình học.

Qua bài viết này, các em đã có cái nhìn tổng quan và cụ thể về hàm số bậc nhất, biết cách xử lý các dạng bài và tự tin áp dụng trong giải bài tập cũng như trong thực tế cuộc sống.