1. Giới thiệu về hình thang cân và tầm quan trọng trong Toán lớp 8

Trong chương trình Toán lớp 8, tứ giác và các loại tứ giác thường gặp là một chủ đề quan trọng của phần hình học. Hình thang cân là một trong các dạng đặc biệt của hình thang, có nhiều ứng dụng trong thực tiễn cũng như trong các bài toán hình học. Việc hiểu rõ về hình thang cân giúp các em nắm chắc kiến thức, giải quyết tốt các dạng bài trong chương 3: Định lý Py-ta-go. Các loại tứ giác thường gặp.

2. Định nghĩa hình thang cân

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau (hay hai cạnh bên bằng nhau).Cụ thể, cho hình thang$ABCD$(với$AB \parallel CD$), nếu$AD = BC$thì $ABCD$là hình thang cân.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Xét hình thang$ABCD$với$AB \parallel CD$và $AD = BC$. Vì $AD = BC$, nên hai cạnh bên của hình thang bằng nhau.

Tính chất của hình thang cân:
+ Hai góc kề đáy lớn (hoặc kề đáy nhỏ) bằng nhau. Tức là:$\widehat{BAD} = \widehat{ABC}$và $\widehat{CDA} = \widehat{DCB}$.
+ Hai đường chéo bằng nhau:$AC = BD$.

Ví dụ: Cho hình thang cân$ABCD$($AB \parallel CD$,$AD = BC = 5\,\text{cm}$,$AB = 6\,\text{cm}$,$CD = 10\,\text{cm}$). Tính độ dài hai đường chéo.

Giải:
Gọi$M$,$N$lần lượt là chân đường cao kẻ từ $A$và $B$xuống$CD$. Khi đó $MN = AB = 6\,\text{cm}$,$CD = 10\,\text{cm}$. Ta có $CM = DN = \frac{CD - AB}{2} = \frac{4}{2} = 2\,\text{cm}$.

Xét tam giác vuông $AMD$với$AD = 5\,\text{cm}$, $AM$là đường cao,$MD = 2\,\text{cm}$.
Sử dụng định lý Py-ta-go:
$AM = \sqrt{AD^2 - MD^2} = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21}\,\text{cm}$

Tìm độ dài đường chéo $AC$bằng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông$AMC$:
$AC^2 = AM^2 + (CM + MN)^2 = 21 + (2 + 6)^2 = 21 + 64 = 85 <br />$AC = \sqrt{85}\,\text{cm}$

Do tính chất hình thang cân, $AC = BD = \sqrt{85}\,\text{cm}$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Hình thang cân có thể trở thành hình chữ nhật (khi hai đáy bằng nhau).
- Nếu hai cạnh bên không bằng nhau, hình thang không còn là cân.
- Lưu ý: Hai cạnh song song phải phân biệt là đáy, hai cạnh còn lại (bên) mới xét để kiểm tra tính cân.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Hình thang cân là trường hợp đặc biệt của hình thang.
- Nếu hình thang cân có hai đáy bằng nhau, nó trở thành hình chữ nhật.
- Định lý Py-ta-go thường dùng để giải các bài toán về độ dài trong hình thang cân.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho hình thang cân$ABCD$($AB \parallel CD$) có $AB = 8\,\text{cm}$,$CD = 14\,\text{cm}$,$AD = BC = 5\,\text{cm}$. Hãy tính diện tích hình thang.

Giải:
Tính độ dài hai đoạn cách đều hai đáy:$CM = DN = \frac{CD - AB}{2} = \frac{14-8}{2} = 3\,\text{cm}$.
Tam giác vuông$AMD$với$AD = 5\,\text{cm}$,$MD = 3\,\text{cm}$.

$AM = \sqrt{AD^2 - MD^2} = \sqrt{25 - 9} = 4\,\text{cm}$

Diện tích hình thang:
$S = \frac{(AB + CD) \times h}{2} = \frac{(8 + 14) \times 4}{2} = \frac{22 \times 4}{2} = 44\,\text{cm}^2$

Bài 2: Cho hình thang cân$ABCD$($AB \parallel CD$), biết$AB = 10\,\text{cm}$,$CD = 6\,\text{cm}$,$AD = BC = 5\,\text{cm}$.
Tính độ dài các đường chéo.

CM = DN = $(AB - CD) / 2 = (10 - 6) / 2 = 2\,\text{cm}$. Tiến hành theo các bước tương tự ví dụ ở phần trên, suy luận được hai đường chéo đều bằng $\sqrt{5^2 + (2 + 6)^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89} \approx 9,43\,\text{cm}$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn hai cạnh bên với hai đáy khi xác định hình thang cân.
- Quên kiểm tra đủ điều kiện: hai góc kề một đáy bằng nhau hoặc hai cạnh bên bằng nhau.
- Không sử dụng định lý Py-ta-go đúng khi giải các bài toán về độ dài đường cao hoặc đường chéo.

8. Tóm tắt và điểm chính cần nhớ

• Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau hoặc hai cạnh bên bằng nhau.
• Các tính chất quan trọng: hai cạnh bên bằng nhau, hai góc kề một đáy bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau.
• Áp dụng định lý Py-ta-go để tính chiều cao, độ dài đường chéo, diện tích và các yếu tố liên quan.
• Phân biệt rõ hai đáy và hai cạnh bên khi xác định hình thang cân.