1. Giới thiệu về khái niệm Hai phân thức bằng nhau và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán đại số lớp 8, phân thức đại số là chủ đề trọng tâm mở đầu cho Chương 1. Việc hiểu rõ "Hai phân thức bằng nhau" giúp học sinh giải quyết các bài toán rút gọn, quy đồng, so sánh và vận dụng vào nhiều kiến thức nâng cao khác. Việc nắm vững khái niệm này giúp các em tiến xa hơn trong giải phương trình chứa phân thức, hệ phương trình và các chuyên đề đại số ở các lớp cao hơn.

2. Định nghĩa chính xác Hai phân thức bằng nhau

- Hai phân thức đại số $\frac{A(x)}{B(x)}$và $\frac{C(x)}{D(x)}$ được gọi là bằng nhau nếu$A(x) \cdot D(x) = B(x) \cdot C(x)$với mọi$x$mà $B(x) \neq 0, D(x) \neq 0$.

Cách phát biểu khác: Hai phân thức bằng nhau khi chúng nhận cùng một giá trị với mọi giá trị của biến mà cả hai phân thức đều xác định.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử có hai phân thức$\frac{2x}{4x}$và $\frac{1}{2}$.

Bước 1: Kiểm tra điều kiện xác định:$4x \neq 0$và $2 \neq 0$ \Rightarrow x \neq 0$.

Bước 2: Áp dụng định nghĩa:
Ta có:

$2x \times 2 = 4x \times 1$

$4x = 4x$(luôn đúng với mọi$x$khác 0).

Vậy$\frac{2x}{4x} = \frac{1}{2}$với$x \neq 0$.

Ví dụ khác:$\frac{x^2 - 1}{x-1}$và $\frac{x+1}{1}$với$x \neq 1$.

Ta có $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$, do đó:

$\frac{x^2 - 1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$, với$x \neq 1$.

Nên$\frac{x^2 - 1}{x-1} = \frac{x+1}{1}$với$x \neq 1$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Phải xác định điều kiện xác định của phân thức (mẫu khác 0).
- Khi rút gọn, quy đồng phải chú ý loại trừ các giá trị làm mẫu bằng 0.
- Hai phân thức có thể bằng nhau trên nhiều khoảng giá trị khác nhau nhưng không nhất thiết phải bằng nhau ở mọi giá trị.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Phân số bằng nhau trong số học cũng là trường hợp riêng của hai phân thức bằng nhau.
- Khái niệm này liên quan đến rút gọn phân thức, biến đổi biểu thức đại số, giải phương trình phân thức.

$\tfrac{2x}{4x}$ (với $x=1$ ) bằng 4 ô vuông tô màu 2 ô và phân thức $\tfrac{1}{2}$ bằng 2 ô vuông tô màu 1 ô, thể hiện cả hai đều tương đương giá trị $0,5$ ." title="Hình minh họa: Sơ đồ khối vuông minh họa phân thức $\tfrac{2x}{4x}$ (với $x=1$ ) bằng 4 ô vuông tô màu 2 ô và phân thức $\tfrac{1}{2}$ bằng 2 ô vuông tô màu 1 ô, thể hiện cả hai đều tương đương giá trị $0,5$ ." class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Chứng minh$\frac{3x}{6x} = \frac{1}{2}$với$x \neq 0$.

Giải:
Áp dụng định nghĩa:

$3x \times 2 = 6x \times 1 \Leftrightarrow 6x = 6x$(đúng với mọi$x \neq 0$).

Vậy hai phân thức này bằng nhau khi$x \neq 0$.

Bài 2: Xét hai phân thức$\frac{x^2-9}{x-3}$và $x+3$. Chúng có bằng nhau không?

Giải:
$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$nên
$\frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$với$x \neq 3$.

Hai phân thức bằng nhau khi$x \neq 3$.

Bài 3: Tìm các giá trị của$x$để$\frac{2x+2}{x+1} = 2$.

Giải:
Ta có:

$\frac{2x+2}{x+1} = 2 \iff 2x + 2 = 2(x+1) \iff 2x + 2 = 2x + 2$(luôn đúng).

Điều kiện xác định:$x+1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1$.

Vậy với mọi$x \neq -1$, phân thức bằng 2.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên kiểm tra điều kiện xác định của từng phân thức.
- Rút gọn mẫu, tử mà không loại trừ điều kiện làm mẫu bằng 0.
- Đồng nhất với phân thức khác mà chưa kiểm tra giá trị biến.
- Nhầm lẫn giữa bằng nhau toàn bộ và bằng nhau trên một số giá trị của biến.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Hai phân thức bằng nhau khi$A(x) \cdot D(x) = B(x) \cdot C(x)$với mọi$x$mà $B(x) \neq 0, D(x) \neq 0$.
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi kết luận hai phân thức bằng nhau.
• Chú ý khi rút gọn phải loại bỏ các giá trị của biến làm mẫu số bằng 0.
• Áp dụng được khái niệm này để giải bài toán rút gọn, quy đồng, giải phương trình phân thức.