1. Giới thiệu về lập phương của một tổng, một hiệu

Trong chương trình Toán lớp 8, học sinh lần đầu tiên được làm quen với các hằng đẳng thức nâng cao như "lập phương của một tổng" và "lập phương của một hiệu". Đây là hai công thức cực kỳ quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong nhiều dạng bài tập về phân tích đa thức, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, v.v. Việc nắm vững các hằng đẳng thức này giúp học sinh giải toán nhanh hơn, chính xác hơn và phát triển tư duy toán học logic.

2. Định nghĩa chính xác về lập phương của một tổng, một hiệu

a) Lập phương của một tổng: Hằng đẳng thức này cho biết bình phương tổng của hai biểu thức (x + y) khi nâng lên lũy thừa ba sẽ thành:

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

b) Lập phương của một hiệu: Tương tự, hiệu của hai biểu thức (x - y) khi lập phương sẽ có công thức:

$(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Chúng ta sẽ cùng kiểm tra công thức này bằng cách khai triển cụ thể từng bước.

a) Lập phương của một tổng

Khai triển$(x + y)^3$:

$(x + y)^3 = (x + y)(x + y)(x + y)$

Bước 1: Nhân hai dấu ngoặc đầu:

$(x + y)(x + y) = x^2 + 2xy + y^2$

Bước 2: Nhân kết quả với (x + y):

$(x^2 + 2xy + y^2)(x + y)$

$= x^2(x + y) + 2xy(x + y) + y^2(x + y)$

$= x^3 + x^2y + 2x^2y + 2xy^2 + y^2x + y^3$

Gộp các hạng tử đồng dạng:

$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

Ví dụ cụ thể: Tính$(2 + 3)^3$theo hai cách.

Cách 1: Tính kết quả trực tiếp:$(2 + 3)^3 = 5^3 = 125$

Cách 2: Áp dụng hằng đẳng thức:

$(2 + 3)^3 = 2^3 + 3 \times 2^2 \times 3 + 3 \times 2 \times 3^2 + 3^3$

$= 8 + 36 + 54 + 27 = 125$

b) Lập phương của một hiệu

Khai triển$(x - y)^3$:

$(x - y)^3 = (x - y)(x - y)(x - y)$

Bước 1: Nhân hai dấu ngoặc đầu:$(x - y)(x - y) = x^2 - 2xy + y^2$

Bước 2: Nhân kết quả với (x - y):

$(x^2 - 2xy + y^2)(x - y)$

$= x^2(x - y) - 2xy(x - y) + y^2(x - y)$

$= x^3 - x^2y - 2x^2y + 2xy^2 + y^2x - y^3$

Gộp các hạng tử đồng dạng:

$= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Ví dụ cụ thể: Tính$(5 - 2)^3$theo hai cách.

Cách 1: Tính trực tiếp:$(5 - 2)^3 = 3^3 = 27$

Cách 2: Áp dụng hằng đẳng thức:

$(5 - 2)^3 = 5^3 - 3 \times 5^2 \times 2 + 3 \times 5 \times 2^2 - 2^3$

$= 125 - 150 + 60 - 8 = 27$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu$x = y$thì $(x + y)^3 = (2x)^3 = 8x^3$.

- Nếu$y = 0$thì $(x + y)^3 = x^3$,$(x - y)^3 = x^3$.

- Nếu$x = 0$:$(x + y)^3 = y^3$,$(x - y)^3 = -y^3$.

Lưu ý khi dấu âm phía trước: Khi$y$ âm, cần chú ý dấu trong công thức.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Liên quan đến khai triển nhị thức Newton với$n=3$.

- Sử dụng để phân tích đa thức thành nhân tử hoặc đơn giản biểu thức.

- Ứng dụng trong giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Tính$(1 + 2)^3$bằng hai cách.

Cách 1:$3^3 = 27$

Cách 2:$1^3 + 3imes1^2imes2 + 3imes1imes2^2 + 2^3 = 1 + 6 + 12 + 8 = 27$

Bài 2: Chứng minh rằng$(x + y)^3 + (x - y)^3 = 2x^3 + 6xy^2$.

Giải:

Khai triển từng hằng đẳng thức:

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$
$(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Cộng lại ta được:

$(x + y)^3 + (x - y)^3 = 2x^3 + 6xy^2$

Bài 3: Phân tích đa thức$8x^3 + 27y^3$thành nhân tử.

Nhận xét:$8x^3 + 27y^3 = (2x)^3 + (3y)^3$
Áp dụng hằng đẳng thức:$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$

Tức là:
$8x^3 + 27y^3 = (2x + 3y)^3 - 3 \times 2x imes 3y imes (2x + 3y)$
$= (2x + 3y)[(2x)^2 - 2x \t \times 3y + (3y)^2]$
$= (2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên hệ số 3 ở các hạng tử $x^2y$,$xy^2$
- Nhầm dấu ở trường hợp lập phương của một hiệu
- Đổi nhầm vị trí $x$và $y$trong mỗi tích
- Không khai triển hết các hạng tử

Để tránh lỗi, hãy luôn viết đầy đủ các bước khai triển, kiểm tra lại hệ số và dấu.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Ghi nhớ công thức lập phương của một tổng, một hiệu:

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$
$(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

- Luôn kiểm tra dấu, hệ số và thứ tự khi khai triển.

- Biết ứng dụng công thức vào tính nhanh, phân tích đa thức và giải bài toán trong thực tế.