Lập phương của một tổng, một hiệu: Khái niệm, công thức và hướng dẫn luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Lập phương của một tổng, một hiệu là chủ đề kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 8, thuộc phần các hằng đẳng thức đáng nhớ. Việc hiểu và vận dụng thành thạo kiến thức này không chỉ giúp bạn giải nhanh các bài toán về biểu thức đại số, rút gọn, phân tích đa thức mà còn là nền tảng cho các dạng bài nâng cao và toán ứng dụng sau này. Hơn thế nữa, kỹ năng nhận diện và áp dụng hằng đẳng thức này sẽ giúp bạn tiết kiệm thời gian và tránh nhầm lẫn khi làm bài thi.

Ví dụ trong thực tế, lập phương tổng/hiệu thường được sử dụng để tính nhanh các giá trị lớn như $(12+8)^3$,$(15-7)^3$mà không cần phải nhân từng bước một. Bạn sẽ có cơ hội luyện tập miễn phí với42.226+ bài tập sau khi nắm vững lý thuyết!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa:Lập phương của một tổng (hoặc một hiệu) là đi tìm biểu thức dạng$(A+B)^3$hoặc$(A-B)^3$dưới dạng khai triển.

- Các định lý và tính chất: Khai triển lập phương cho tổng và hiệu giúp phân tích, rút gọn hoặc tính giá trị của các biểu thức đại số phức tạp.

- Điều kiện áp dụng:Chỉ áp dụng khi toàn bộ biểu thức nằm trong dấu ngoặc đều được lặp lại ba lần, đặc điểm nhận diện: dấu mũ $3$phía ngoài dấu ngoặc.

2.2 Công thức và quy tắc

Dưới đây là hai công thức cần thuộc lòng:

• Lập phương của một tổng:$(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$
• Lập phương của một hiệu:$(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$

- Cách ghi nhớ công thức: "Lập phương – ba lần bình phương nhân một – ba lần một nhân bình phương – lập phương" rồi thay dấu tuân theo tổng/hiệu (cộng thì toàn bộ là cộng; hiệu thì dấu xen kẽ: trừ, cộng, trừ).

- Biến thể: Có thể áp dụng ngược (biết tổng khai triển đi rút gọn thành dạng lập phương tổng hoặc hiệu).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Tính giá trị của$(2+5)^3$bằng công thức lập phương một tổng.

Lời giải:

Áp dụng công thức: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$

Thay$A=2$,$B=5$:

$(2+5)^3 = 2^3 + 3 \times 2^2 \times 5 + 3 \times 2 \times 5^2 + 5^3$

$=8 + 3 \times 4 \times 5 + 3 \times 2 \times 25 + 125$

$=8 + 60 + 150 + 125 = 343$

Lưu ý: Không quên nhân số 3 vào giữa và cẩn thận với lũy thừa, thứ tự phép toán.

3.2 Ví dụ nâng cao

Rút gọn biểu thức:$(x-3y)^3 + (3y-x)^3$

Lời giải:

Nhận thấy$3y-x = -(x-3y)$nên$(3y-x)^3 = [-(x-3y)]^3 = -(x-3y)^3$.

Suy ra:$(x-3y)^3 + (3y-x)^3 = (x-3y)^3 - (x-3y)^3 = 0$

Kỹ thuật giải nhanh: Nhận diện đối xứng và sử dụng tính chất lũy thừa số âm.

4. Các trường hợp đặc biệt

Nếu$A = B$hoặc$A = -B$, hãy thay vào công thức để nhận ra các hệ quả đặc biệt:

• Nếu$A = B$, thì $(A+B)^3 = (2A)^3 = 8A^3$
• Nếu$A = -B$, thì $(A-B)^3 = (2A)^3 = 8A^3$

Mối liên hệ: Lập phương của một tổng, một hiệu được dùng nhiều trong phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình bậc ba có dạng đặc biệt hoặc chuyển đổi giữa các biểu thức.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn giữa$(A+B)^2$và $(A+B)^3$. Luôn để ý số mũ ngoài dấu ngoặc.
• Viết thiếu hạng tử hoặc nhầm dấu cộng, trừ giữa các thành phần.

Cách khắc phục: Viết lại công thức ra giấy nháp trước khi áp dụng và đọc kỹ đề bài.

5.2 Lỗi về tính toán

• Quên nhân các hệ số 3 vào các hạng tử ở giữa.
• Tính sai lũy thừa hoặc nhầm lẫn khi thay số.

Cách kiểm tra kết quả: Sau khi làm xong, nhẩm lại giá trị từng bước hoặc thử thay lại số cụ thể (nếu đề có yêu cầu tính giá trị).

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập 42.226+ bài tập Lập phương của một tổng, một hiệu miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức để nâng cao kỹ năng toán học. Hệ thống sẽ tự động lưu lại kết quả và tiến độ học của bạn.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Nhớ rõ hai công thức lập phương của một tổng, một hiệu.
• Hiểu, phân biệt hai công thức và không nhầm lẫn với bình phương.
• Áp dụng nhuần nhuyễn các bước giải cho cả bài cơ bản và nâng cao.

Checklist ôn tập:

• Đã thuộc công thức tổng/quy tắc ghi nhớ?
• Đã luyện tập thực hành với các bài tập?
• Có biện pháp kiểm tra kết quả?

Lên kế hoạch luyện tập hàng ngày để tránh quên kiến thức và làm chủ chuyên đề này!