1. Giới thiệu: Lập phương trình là gì và tại sao quan trọng?

Lập phương trình là một kỹ năng cực kỳ quan trọng trong chương trình Toán lớp 8 và trong cả Toán học nói chung. Nhờ biết lập phương trình, em có thể biến một bài toán bằng lời thành một bài toán đại số để giải quyết một cách hợp lý, khoa học. Kỹ năng này không chỉ giúp giải các bài toán thực tế mà còn phát triển khả năng tư duy logic, lập luận và giải quyết vấn đề.

2. Định nghĩa chính xác về lập phương trình

Lập phương trình là quá trình chuyển đổi một bài toán bằng lời thành một phương trình đại số (toán học), trong đó chưa biết được thay thế bằng ẩn số. Sau đó, giải phương trình vừa lập để tìm ra giá trị của ẩn số ấy, qua đó giải quyết được bài toán ban đầu.

Phương trình là một biểu thức toán học có dạng:

$ax + b = 0$với$x$là ẩn số,$a$,$b$là các số đã biết,$a \neq 0$.

3. Các bước lập phương trình – Ví dụ minh họa dễ hiểu

Quy trình cơ bản để lập phương trình từ bài toán thực tế:

Bước 1: Xác định đại lượng cần tìm, gọi ẩn số (thường là $x$).

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng khác theo$x$(dựa vào mối quan hệ bài toán).

Bước 3: Thiết lập phương trình mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng (theo đầu bài).

Bước 4: Giải phương trình để tìm$x$. Đối chiếu kết quả và trả lời.

Ví dụ 1: Bài toán đơn giản về tuổi

Bài toán: Tổng số tuổi của hai anh em là 28. Biết tuổi anh hơn tuổi em là 4 tuổi. Tìm tuổi của mỗi người.

Hướng dẫn giải:

- Gọi tuổi em là $x$(đơn vị: tuổi)

- Tuổi anh là $x + 4$.

- Tổng số tuổi là:$x + (x + 4) = 28$

- Lập phương trình:$x + x + 4 = 28$

Giải phương trình:

$<br />2x + 4 = 28\<br />2x = 28 - 4 = 24\<br />x = \frac{24}{2} = 12<br />$

Vậy: Em 12 tuổi, anh 16 tuổi.

Ví dụ 2: Bài toán về chuyển động

Một người đi xe đạp từ A đến B dài 36km với vận tốc không đổi. Nếu tăng vận tốc thêm 3 km/h thì người đó đến sớm hơn dự định 1 giờ. Tìm vận tốc dự định ban đầu.

Gọi vận tốc ban đầu là $x$(km/h). Thời gian đi là $\frac{36}{x}$(giờ). Vận tốc mới là $x + 3$(km/h), thời gian mới:$\frac{36}{x+3}$(giờ).

Theo đề bài:$\frac{36}{x} - \frac{36}{x+3} = 1$

Giải phương trình:

$<br />\frac{36}{x} - \frac{36}{x+3} = 1<br /> \Rightarrow \frac{36(x+3) - 36x}{x(x+3)} = 1<br /> \Rightarrow \frac{36 \times 3}{x(x+3)} = 1<br /> \Rightarrow 108 = x(x+3)<br /> \Rightarrow x^2 + 3x - 108 = 0<br />$

Đến đây, học sinh có thể giải phương trình bậc hai để tìm$x$(có kết quả $x = 9$, nhận vì phải là số dương).

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi lập phương trình

Có những trường hợp lập phương trình cần chú ý:

- Phương trình vô nghiệm: không có giá trị $x$nào thỏa mãn bài toán.

- Phương trình có nghiệm không phù hợp với điều kiện thực tế: phải loại nghiệm âm, nghiệm không thỏa mãn yêu cầu đầu bài (ví dụ: tuổi không thể âm).

- Có thể có những bài toán mà dẫn tới nghiệm phân số, nghiệm đặc biệt.

5. Mối liên hệ của lập phương trình với các khái niệm toán học khác

Lập phương trình có mối liên hệ chặt chẽ với các phần khác của Toán học như:

- Phương trình bậc nhất, bậc hai: Dạng bài tập lập phương trình phổ biến nhất là phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn.

- Hệ phương trình: Những bài toán phức tạp hơn có thể yêu cầu lập 2 phương trình với 2 ẩn.

- Biểu thức đại số: Cần biết cách biểu diễn các đại lượng (tuổi, quãng đường, tổng, hiệu...) dưới dạng biểu thức đại số.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Một số cộng với 15 thì được 28. Tìm số đó.

Giải:

Gọi số đó là $x$. Lập phương trình:$x + 15 = 28$

$<br />x + 15 = 28\<br />x = 28 - 15 = 13<br />$

Bài tập 2: Hai lớp 8A và 8B có tổng số học sinh là 70. Số học sinh lớp 8A nhiều hơn lớp 8B là 8 em. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?

Giải:

Gọi số học sinh lớp 8B là $x$(học sinh). Lớp 8A có $x + 8$(học sinh).

Lập phương trình:$x + x + 8 = 70 \Rightarrow 2x + 8 = 70 \Rightarrow 2x = 62 \Rightarrow x = 31$

Vậy: Lớp 8B có 31 học sinh, lớp 8A có $31+8=39$học sinh.

7. Những lỗi thường gặp khi lập phương trình và cách tránh

- Đặt ẩn sai (đặt ngược ẩn với yêu cầu bài toán).

- Biểu diễn các đại lượng chưa chính xác (ví dụ: tuổi anh là $x + 4$nhưng học sinh lại viết là $x - 4$).

- Thiếu điều kiện xác định cho ẩn số (ví dụ: tuổi, số học sinh phải lớn hơn 0).

- Không kiểm tra nghiệm vừa tìm có phù hợp thực tế hay không.

8. Tóm tắt và những điểm chính cần ghi nhớ

- Lập phương trình là biến bài toán từ dạng lời sang dạng toán học (phương trình).
- Các bước chính: Đặt ẩn, biểu diễn đại lượng, lập phương trình, giải phương trình, kiểm tra nghiệm.
- Chú ý đặt ẩn và biểu diễn đúng theo yêu cầu đề bài.
- Luôn kiểm tra lại nghiệm xem có phù hợp thực tế không.
- Lập phương trình là kỹ năng trung tâm để giải nhiều dạng toán thực tế trong chương trình toán lớp 8 và các lớp sau.