Phân thức đại số: Khái niệm, công thức, ví dụ minh họa và những lưu ý cho học sinh lớp 8

Phân thức đại số là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 8. Đây là nền tảng cho rất nhiều phần kiến thức đại số nâng cao mà các bạn sẽ học ở bậc THCS và THPT. Hiểu rõ khái niệm này không chỉ giúp các bạn giải tốt các bài tập toán mà còn ứng dụng trong các bài toán thực tế liên quan đến tỉ lệ, đo lường, vận tốc,... Thông qua bài viết này, các bạn sẽ được giới thiệu chi tiết về phân thức đại số và được luyện tập miễn phí với 200+ bài tập cực kỳ đa dạng (không cần đăng ký tài khoản).

- Định nghĩa: Phân thức đại số là một biểu thức có dạng$\frac{A}{B}$, trong đó $A$và $B$là các đa thức,$B \neq 0$.
- Điều kiện xác định: Phân thức chỉ có nghĩa khi$B \neq 0$.
- Các định lý, tính chất cơ bản:
+ Hai phân thức bằng nhau khi:$\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \Leftrightarrow AD = BC$(với$B \neq 0, D \neq 0$).
+ Có thể quy đồng mẫu hai phân thức như quy đồng mẫu phân số thông thường.
- Giới hạn: Chỉ làm việc với trường hợp mẫu số là đa thức khác 0.

- Dạng tổng quát phân thức đại số:$\frac{A(x)}{B(x)}$, với$A(x)$,$B(x)$là đa thức và $B(x) \neq 0$.
- Quy tắc cộng/trừ phân thức:
$\frac{A}{B} \pm \frac{C}{D} = \frac{AD \pm BC}{BD} \quad (B \neq 0, D \neq 0)$
- Quy tắc nhân phân thức:
$\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{A \times C}{B \times D} \quad (B \neq 0, D \neq 0)$
- Quy tắc chia phân thức:
$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A \times D}{B \times C} \quad (B \neq 0, C \neq 0, D \neq 0)$
- Ghi nhớ công thức: Chép lại nhiều lần và luyện tập thực hành với các dạng bài toán quy đồng, rút gọn và thực hiện phép tính trên phân thức.
- Điều kiện sử dụng: Chỉ sử dụng các công thức khi các mẫu số khác 0 tại giá trị đang xét.
- Biến thể: Quy tắc vận dụng như quy đồng, nghịch đảo khi chia phân thức,...

Cho phân thức$\frac{x+2}{x-1}$. Tìm giá trị của phân thức tại$x=3$.

- Bước 1: Kiểm tra điều kiện xác định:$x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. Vì $x=3$nên điều kiện đúng.

- Bước 2: Thay$x=3$vào phân thức:

\frac{x+2}{x-1} = \frac{3+2}{3-1} = \frac{5}{2}" data-math-type="inline"> <!--LATEX_PROCESSED_1757148115225--><code class="bg-gray-100 px-1 rounded">\frac{x+2}{x-1} = \frac{3+2}{3-1} = \frac{5}{2}</code>

Vậy giá trị của phân thức tại$x=3$là $\frac{5}{2}$. Lưu ý: Luôn kiểm tra mẫu số khác 0 trước khi thay số.

Rút gọn phân thức:$\frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x}$

- Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử:

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

$x^2 - 2x = x(x-2)$

- Bước 2: Viết lại phân thức:

\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)} = \frac{x+2}{x} \ (x
eq 0, x
eq 2)" data-math-type="inline"> <!--LATEX_PROCESSED_1757148115230--><code class="bg-gray-100 px-1 rounded">\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)} = \frac{x+2}{x} \ (x <br>eq 0, x <br>eq 2)</code>

Lưu ý: Ghi rõ điều kiện xác định$x \neq 0$,$x \neq 2$ để kết quả luôn đúng.

- Nếu mẫu số có nghiệm, không thay vào những giá trị làm mẫu số bằng 0.
- Các phân thức tưởng khác nhau có thể rút gọn thành cùng một phân thức.
- Các trường hợp phân tích nhân tử đặc biệt như hằng đẳng thức, mẫu số chứa ẩn số,... cần chú ý khi rút gọn hoặc thực hiện phép tính.

- Hiểu nhầm giữa phân thức đại số và phân số thông thường.
- Quên mất điều kiện xác định của mẫu số.
- Nhận diện nhầm giữa đa thức và phân thức.
- Để tránh: luôn kiểm tra tính chất mẫu số, ghi nhớ bảng so sánh giữa phân số và phân thức.

- Quy đồng sai mẫu số.
- Không rút gọn hết các nhân tử chung trong tử và mẫu số.
- Nhầm lẫn khi cộng/trừ phân thức (phải quy đồng mẫu trước!).
- Sai phép chia phân thức (quên đổi phép chia thành phép nhân với nghịch đảo).
- Cách kiểm tra: thế số kiểm tra lại kết quả, làm lại từ đầu theo các bước đã học.

Truy cập kho bài tập Phân thức đại số miễn phí không cần đăng ký. Làm bài tập, nộp đáp án và nhận giải thích chi tiết từng bước để nâng cao kỹ năng nhanh chóng! Hệ thống sẽ tự động lưu tiến độ học tập giúp bạn dễ dàng theo dõi sự tiến bộ của mình.

- Phân thức đại số là biểu thức dạng$\frac{A}{B}$với$A$,$B$là đa thức,$B \neq 0$.
- Nắm vững các công thức tính, quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức.
- Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi làm bài.
- Luyện tập thường xuyên để tránh lỗi sai về quy đồng, rút gọn, điều kiện mẫu số.
- Checklist kiến thức trước khi làm bài:
+ Kiểm tra mẫu số khác 0 chưa?
+ Đã rút gọn nhân tử chung?
+ Đã quy đồng trước khi cộng/trừ?
+ Đã ghi rõ điều kiện xác định?
- Ôn tập theo từng dạng bài, làm nhiều bài tập thực hành để thành thạo phân thức đại số.