1. Giới thiệu và tầm quan trọng Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức là một trong những kiến thức then chốt trong chương trình toán lớp 8. Đây là cách biến đổi một đa thức (bậc hai, bậc ba,...) thành tích các nhân tử nhỏ hơn bằng cách dùng các công thức đặc biệt gọi là hằng đẳng thức.
Việc hiểu và áp dụng thành thạo kỹ năng này sẽ giúp các bạn học sinh dễ dàng giải quyết nhiều dạng bài toán khác như rút gọn biểu thức, giải phương trình, bất phương trình... Không chỉ ứng dụng trong học tập, tư duy phân tích thành tích còn rất hữu ích khi giải quyết vấn đề trong thực tế như phân tích cấu tạo, tìm hiểu quy luật hay lập trình.
Bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226 bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức miễn phí – giúp củng cố và nâng cao kiến thức ngay tại nhà.
2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững 2.1. Lý thuyết cơ bản - Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành tích của các đa thức (có bậc nhỏ hơn hoặc bằng) hoặc các nhân tử nguyên.
- Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức dựa vào việc nhận dạng cấu trúc của đa thức giống một trong các công thức đặc biệt (hằng đẳng thức) đã học.
- Điều kiện: Chỉ áp dụng khi đa thức có thể đưa về dạng đúng với hằng đẳng thức. Cần chú ý kiểm tra kỹ hệ số và dấu.
2.2 Công thức và quy tắc - Danh sách các hằng đẳng thức cần thuộc lòng:
Bình phương của tổng:( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 Bình phương của hiệu:( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b 2 Hiệu hai bình phương:a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) Lập phương của tổng:( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 Lập phương của hiệu:( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 Cách ghi nhớ: Có thể học thuộc theo nhóm, luyện tập nhiều ví dụ. Hãy thử nhìn vào các hệ số và dấu đặc biệt trong mỗi công thức để nhận biết nhanh khi gặp trong đề.
Điều kiện: Chỉ dùng đúng công thức khi thấy đa thức "giống" (cùng số lượng và hệ số từng hạng tử) với một trong các hằng đẳng thức. Cần biến đổi tương ứng nếu khác.
Biến thể: Đôi khi cần nhóm hạng tử hoặc đặt ẩn phụ để nhận ra cấu trúc hằng đẳng thức.
3. Ví dụ minh họa chi tiết 3.1 Ví dụ cơ bản Phân tích đa thứcx 2 + 2 x + 1 x^2 + 2x + 1 x 2 + 2 x + 1
Bước 1: Nhận diện đa thức có dạnga 2 + 2 a b + b 2 a^2 + 2ab + b^2 a 2 + 2 ab + b 2
Bước 2: Ta thấya = x a = x a = x b = 1 b = 1 b = 1
' in math mode at position 1:
$' in math mode at position 1:$
̲x^2 + 2x + 1 = …" style="color:#cc0000">$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2
$$$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$$
4 x 2 − 9 y 2 4x^2 - 9y^2 4 x 2 − 9 y 2 thành nhân tử.
Nhận diện: Đây là hiệu hai bình phương vớia = 2 x a = 2x a = 2 x b = 3 y b = 3y b = 3 y
< / d i v > < p > L ư u y ˊ : K h i p h a ^ n t ı ˊ c h t h a ˋ n h n h a ^ n t ử , l u o ^ n k i ể m t r a l ạ i b a ˘ ˋ n g c a ˊ c h n h a ^ n l ạ i c a ˊ c n h a ^ n t ử v ừ a t ı ˋ m đượ c . < / p > < h 2 > < e m > 3.2 V ı ˊ d ụ n a ^ n g c a o < / e m > < / h 2 > < p > P h a ^ n t ı ˊ c h đ a t h ứ c < s p a n c l a s s = " m a t h − i n l i n e " > < s p a n c l a s s = " k a t e x " > < s p a n c l a s s = " k a t e x − m a t h m l " > < m a t h x m l n s = " h t t p : / / w w w . w 3. o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L " > < s e m a n t i c s > < m r o w > < m n > 4 < / m n > < m s u p > < m i > x < / m i > < m n > 2 < / m n > < / m s u p > < m o > − < / m o > < m n > 9 < / m n > < m s u p > < m i > y < / m i > < m n > 2 < / m n > < / m s u p > < / m r o w > < a n n o t a t i o n e n c o d i n g = " a p p l i c a t i o n / x − t e x " > 4 x 2 − 9 y 2 < / a n n o t a t i o n > < / s e m a n t i c s > < / m a t h > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " k a t e x − h t m l " a r i a − h i d d e n = " t r u e " > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8974 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 4 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s u p s u b " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − r " > < s p a n c l a s s = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; m a r g i n − r i g h t : 0.05 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " s i z i n g r e s e t − s i z e 6 s i z e 3 m t i g h t " > < s p a n c l a s s = " m o r d m t i g h t " > 2 < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m b i n " > − < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 1.0085 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.1944 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 9 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.03588 e m ; " > y < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s u p s u b " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − r " > < s p a n c l a s s = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; m a r g i n − r i g h t : 0.05 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " s i z i n g r e s e t − s i z e 6 s i z e 3 m t i g h t " > < s p a n c l a s s = " m o r d m t i g h t " > 2 < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > t h a ˋ n h n h a ^ n t ử . < ! − − L A T E X P R O C E S S E D 1 756454313941 − − > < / p > < p > N h ậ n d i ệ n : Đ a ^ y l a ˋ h i ệ u h a i b ı ˋ n h p h ươ n g v ớ i < s p a n c l a s s = " m a t h − i n l i n e " > < s p a n c l a s s = " k a t e x " > < s p a n c l a s s = " k a t e x − m a t h m l " > < m a t h x m l n s = " h t t p : / / w w w . w 3. o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L " > < s e m a n t i c s > < m r o w > < m i > a < / m i > < m o > = < / m o > < m n > 2 < / m n > < m i > x < / m i > < / m r o w > < a n n o t a t i o n e n c o d i n g = " a p p l i c a t i o n / x − t e x " > a = 2 x < / a n n o t a t i o n > < / s e m a n t i c s > < / m a t h > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " k a t e x − h t m l " a r i a − h i d d e n = " t r u e " > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.4306 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > a < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m r e l " > = < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6444 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 2 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > , < s p a n c l a s s = " m a t h − i n l i n e " > < s p a n c l a s s = " k a t e x " > < s p a n c l a s s = " k a t e x − m a t h m l " > < m a t h x m l n s = " h t t p : / / w w w . w 3. o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L " > < s e m a n t i c s > < m r o w > < m i > b < / m i > < m o > = < / m o > < m n > 3 < / m n > < m i > y < / m i > < / m r o w > < a n n o t a t i o n e n c o d i n g = " a p p l i c a t i o n / x − t e x " > b = 3 y < / a n n o t a t i o n > < / s e m a n t i c s > < / m a t h > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " k a t e x − h t m l " a r i a − h i d d e n = " t r u e " > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6944 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > b < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m r e l " > = < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8389 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.1944 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 3 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.03588 e m ; " > y < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > . < ! − − L A T E X P R O C E S S E D 1 756454313942 − − > < / p > < d i v c l a s s = " m a t h − b l o c k m y − 4 t e x t − c e n t e r " > < d i v c l a s s = " m a t h − d i s p l a y " r o l e = " i m g " a r i a − l a b e l = " M a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o n : </div><p>Lưu ý: Khi phân tích thành nhân tử, luôn kiểm tra lại bằng cách nhân lại các nhân tử vừa tìm được.</p><h2><em>3.2 Ví dụ nâng cao</em></h2><p>Phân tích đa thức<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>4</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>9</mn><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">4x^2 - 9y^2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8974em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">4</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">x</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0085em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord">9</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>thành nhân tử.<!--LATEX_PROCESSED_1756454313941--></p><p>Nhận diện: Đây là hiệu hai bình phương với<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a = 2x</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mord mathnormal">x</span></span></span></span></span>,<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>b</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>y</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">b = 3y</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal">b</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8389em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord">3</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span></span></span></span></span>.<!--LATEX_PROCESSED_1756454313942--></p><div class="math-block my-4 text-center"><div class="math-display" role="img" aria-label="Mathematical expression: < / d i v >< p > L ư u y ˊ : K hi p h a ^ n t ı ˊ c h t h a ˋ nhnh a ^ n t ử , l u o ^ nki ể m t r a l ạ ib a ˘ ˋ n g c a ˊ c hnh a ^ n l ạ i c a ˊ c nh a ^ n t ử v ừ a t ı ˋ m đư ợ c . < / p >< h 2 >< e m > 3.2 V ı ˊ d ụ n a ^ n g c a o < / e m >< / h 2 >< p > P h a ^ n t ı ˊ c h đ a t h ứ c < s p an c l a ss = " ma t h − in l in e " >< s p an c l a ss = " ka t e x " >< s p an c l a ss = " ka t e x − ma t hm l " >< ma t h x m l n s = " h ttp : // www . w 3. or g /1998/ M a t h / M a t h M L " >< se man t i cs >< m ro w >< mn > 4 < / mn >< m s u p >< mi > x < / mi >< mn > 2 < / mn >< / m s u p >< m o > − < / m o >< mn > 9 < / mn >< m s u p >< mi > y < / mi >< mn > 2 < / mn >< / m s u p >< / m ro w >< ann o t a t i o n e n co d in g = " a ppl i c a t i o n / x − t e x " > 4 x 2 − 9 y 2 < / ann o t a t i o n >< / se man t i cs >< / ma t h >< / s p an >< s p an c l a ss = " ka t e x − h t m l " a r ia − hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8974 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 4 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< s p an c l a ss = " m s u p s u b " >< s p an c l a ss = " v l i s t − t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − r " >< s p an c l a ss = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " >< s p an s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; ma r g in − r i g h t : 0.05 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " s i z in g rese t − s i ze 6 s i ze 3 m t i g h t " >< s p an c l a ss = " m or d m t i g h t " > 2 < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " mbin " > − < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 1.0085 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.1944 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 9 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.03588 e m ; " > y < / s p an >< s p an c l a ss = " m s u p s u b " >< s p an c l a ss = " v l i s t − t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − r " >< s p an c l a ss = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " >< s p an s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; ma r g in − r i g h t : 0.05 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " s i z in g rese t − s i ze 6 s i ze 3 m t i g h t " >< s p an c l a ss = " m or d m t i g h t " > 2 < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an > t h a ˋ nhnh a ^ n t ử. < ! − − L A TE X P ROCESSE D 1 756454313941 − − >< / p >< p > N h ậ n d i ệ n : Đ a ^ y l a ˋ hi ệ u haib ı ˋ nh p h ươ n gv ớ i < s p an c l a ss = " ma t h − in l in e " >< s p an c l a ss = " ka t e x " >< s p an c l a ss = " ka t e x − ma t hm l " >< ma t h x m l n s = " h ttp : // www . w 3. or g /1998/ M a t h / M a t h M L " >< se man t i cs >< m ro w >< mi > a < / mi >< m o >=< / m o >< mn > 2 < / mn >< mi > x < / mi >< / m ro w >< ann o t a t i o n e n co d in g = " a ppl i c a t i o n / x − t e x " > a = 2 x < / ann o t a t i o n >< / se man t i cs >< / ma t h >< / s p an >< s p an c l a ss = " ka t e x − h t m l " a r ia − hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.4306 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > a < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m re l " >=< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6444 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 2 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an > , < s p an c l a ss = " ma t h − in l in e " >< s p an c l a ss = " ka t e x " >< s p an c l a ss = " ka t e x − ma t hm l " >< ma t h x m l n s = " h ttp : // www . w 3. or g /1998/ M a t h / M a t h M L " >< se man t i cs >< m ro w >< mi > b < / mi >< m o >=< / m o >< mn > 3 < / mn >< mi > y < / mi >< / m ro w >< ann o t a t i o n e n co d in g = " a ppl i c a t i o n / x − t e x " > b = 3 y < / ann o t a t i o n >< / se man t i cs >< / ma t h >< / s p an >< s p an c l a ss = " ka t e x − h t m l " a r ia − hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6944 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > b < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m re l " >=< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8389 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.1944 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 3 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.03588 e m ; " > y < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an > . < ! − − L A TE X P ROCESSE D 1 756454313942 − − >< / p >< d i v c l a ss = " ma t h − b l oc km y − 4 t e x t − ce n t er " >< d i v c l a ss = " ma t h − d i s pl a y " ro l e = " im g " a r ia − l ab e l = " M a t h e ma t i c a l e x p ress i o n : $ Lưu ý: Khi phân tích thành nhân tử, luôn kiểm tra lại bằng cách nhân lại các nhân tử vừa tìm được.
3.2 Ví dụ nâng cao Phân tích đa thức4 x 2 − 9 y 2 4x^2 - 9y^2 4 x 2 − 9 y 2
Nhận diện: Đây là hiệu hai bình phương vớia = 2 x a = 2x a = 2 x b = 3 y b = 3y b = 3 y
' in math mode at position 1:
$' in math mode at position 1:$
̲4x^2 - 9y^2 = (…" style="color:#cc0000">$4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y)
$$$4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y)$$
x 2 + 2 x y + y 2 + 2 x + 2 y + 1 x^2 + 2xy + y^2 + 2x + 2y + 1 x 2 + 2 x y + y 2 + 2 x + 2 y + 1 thành nhân tử:
< / d i v > < p > K y ~ t h u ậ t n h a n h : L u o ^ n k i ể m t r a x e m t ừ n g s o ^ ˊ h ạ n g c o ˊ t h ểđư a v e ^ ˋ b ı ˋ n h p h ươ n g c ủ a m ộ t b i ể u t h ứ c k h o ^ n g . < / p > < h 2 > < s t r o n g > 4. C a ˊ c t r ườ n g h ợ p đặ c b i ệ t < / s t r o n g > < / h 2 > < p > M ộ t s o ^ ˊ đ a t h ứ c k h o ^ n g n g a y l ậ p t ứ c t h a ^ ˊ y đượ c h a ˘ ˋ n g đẳ n g t h ứ c m a ˋ b ạ n c a ^ ˋ n n h o ˊ m c a ˊ c h ạ n g t ử l ạ i h o ặ c đặ t ẩ n p h ụ . V ı ˊ d ụ : < / p > < p > P h a ^ n t ı ˊ c h < s p a n c l a s s = " m a t h − i n l i n e " > < s p a n c l a s s = " k a t e x " > < s p a n c l a s s = " k a t e x − m a t h m l " > < m a t h x m l n s = " h t t p : / / w w w . w 3. o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L " > < s e m a n t i c s > < m r o w > < m s u p > < m i > x < / m i > < m n > 2 < / m n > < / m s u p > < m o > + < / m o > < m n > 2 < / m n > < m i > x < / m i > < m i > y < / m i > < m o > + < / m o > < m s u p > < m i > y < / m i > < m n > 2 < / m n > < / m s u p > < m o > + < / m o > < m n > 2 < / m n > < m i > x < / m i > < m o > + < / m o > < m n > 2 < / m n > < m i > y < / m i > < m o > + < / m o > < m n > 1 < / m n > < / m r o w > < a n n o t a t i o n e n c o d i n g = " a p p l i c a t i o n / x − t e x " > x 2 + 2 x y + y 2 + 2 x + 2 y + 1 < / a n n o t a t i o n > < / s e m a n t i c s > < / m a t h > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " k a t e x − h t m l " a r i a − h i d d e n = " t r u e " > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8974 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s u p s u b " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − r " > < s p a n c l a s s = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; m a r g i n − r i g h t : 0.05 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " s i z i n g r e s e t − s i z e 6 s i z e 3 m t i g h t " > < s p a n c l a s s = " m o r d m t i g h t " > 2 < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m b i n " > + < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8389 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.1944 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 2 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.03588 e m ; " > y < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m b i n " > + < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 1.0085 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.1944 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.03588 e m ; " > y < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s u p s u b " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − r " > < s p a n c l a s s = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; m a r g i n − r i g h t : 0.05 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " s i z i n g r e s e t − s i z e 6 s i z e 3 m t i g h t " > < s p a n c l a s s = " m o r d m t i g h t " > 2 < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m b i n " > + < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.7278 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 2 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m b i n " > + < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8389 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.1944 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 2 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.03588 e m ; " > y < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m b i n " > + < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6444 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 1 < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > t h a ˋ n h n h a ^ n t ử : < ! − − L A T E X P R O C E S S E D 1 756454313943 − − > < / p > < d i v c l a s s = " m a t h − b l o c k m y − 4 t e x t − c e n t e r " > < d i v c l a s s = " m a t h − d i s p l a y " r o l e = " i m g " a r i a − l a b e l = " M a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o n : </div><p>Kỹ thuật nhanh: Luôn kiểm tra xem từng số hạng có thể đưa về bình phương của một biểu thức không.</p><h2><strong>4. Các trường hợp đặc biệt</strong></h2><p>Một số đa thức không ngay lập tức thấy được hằng đẳng thức mà bạn cần nhóm các hạng tử lại hoặc đặt ẩn phụ. Ví dụ:</p><p>Phân tích<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mi>y</mi><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">x^2 + 2xy + y^2 + 2x + 2y + 1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8974em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">x</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8389em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0085em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8389em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span></span>thành nhân tử:<!--LATEX_PROCESSED_1756454313943--></p><div class="math-block my-4 text-center"><div class="math-display" role="img" aria-label="Mathematical expression: < / d i v >< p > K y ~ t h u ậ t nhanh : Lu o ^ nki ể m t r a x e m t ừ n g s o ^ ˊ h ạ n g c o ˊ t h ể đư a v e ^ ˋ b ı ˋ nh p h ươ n g c ủ am ộ t bi ể u t h ứ c kh o ^ n g . < / p >< h 2 >< s t ro n g > 4. C a ˊ c t r ư ờ n g h ợ p đ ặ c bi ệ t < / s t ro n g >< / h 2 >< p > M ộ t s o ^ ˊ đ a t h ứ c kh o ^ n g n g a y l ậ pt ứ c t h a ^ ˊ y đư ợ c h a ˘ ˋ n g đ ẳ n g t h ứ c m a ˋ b ạ n c a ^ ˋ nnh o ˊ m c a ˊ c h ạ n g t ử l ạ ih o ặ c đ ặ t ẩ n p h ụ. V ı ˊ d ụ :< / p >< p > P h a ^ n t ı ˊ c h < s p an c l a ss = " ma t h − in l in e " >< s p an c l a ss = " ka t e x " >< s p an c l a ss = " ka t e x − ma t hm l " >< ma t h x m l n s = " h ttp : // www . w 3. or g /1998/ M a t h / M a t h M L " >< se man t i cs >< m ro w >< m s u p >< mi > x < / mi >< mn > 2 < / mn >< / m s u p >< m o > + < / m o >< mn > 2 < / mn >< mi > x < / mi >< mi > y < / mi >< m o > + < / m o >< m s u p >< mi > y < / mi >< mn > 2 < / mn >< / m s u p >< m o > + < / m o >< mn > 2 < / mn >< mi > x < / mi >< m o > + < / m o >< mn > 2 < / mn >< mi > y < / mi >< m o > + < / m o >< mn > 1 < / mn >< / m ro w >< ann o t a t i o n e n co d in g = " a ppl i c a t i o n / x − t e x " > x 2 + 2 x y + y 2 + 2 x + 2 y + 1 < / ann o t a t i o n >< / se man t i cs >< / ma t h >< / s p an >< s p an c l a ss = " ka t e x − h t m l " a r ia − hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8974 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< s p an c l a ss = " m s u p s u b " >< s p an c l a ss = " v l i s t − t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − r " >< s p an c l a ss = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " >< s p an s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; ma r g in − r i g h t : 0.05 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " s i z in g rese t − s i ze 6 s i ze 3 m t i g h t " >< s p an c l a ss = " m or d m t i g h t " > 2 < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " mbin " > + < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8389 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.1944 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 2 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.03588 e m ; " > y < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " mbin " > + < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 1.0085 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.1944 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.03588 e m ; " > y < / s p an >< s p an c l a ss = " m s u p s u b " >< s p an c l a ss = " v l i s t − t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − r " >< s p an c l a ss = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " >< s p an s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; ma r g in − r i g h t : 0.05 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " s i z in g rese t − s i ze 6 s i ze 3 m t i g h t " >< s p an c l a ss = " m or d m t i g h t " > 2 < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " mbin " > + < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.7278 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 2 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " mbin " > + < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8389 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.1944 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 2 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.03588 e m ; " > y < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " mbin " > + < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6444 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 1 < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an > t h a ˋ nhnh a ^ n t ử :< ! − − L A TE X P ROCESSE D 1 756454313943 − − >< / p >< d i v c l a ss = " ma t h − b l oc km y − 4 t e x t − ce n t er " >< d i v c l a ss = " ma t h − d i s pl a y " ro l e = " im g " a r ia − l ab e l = " M a t h e ma t i c a l e x p ress i o n : $ Kỹ thuật nhanh: Luôn kiểm tra xem từng số hạng có thể đưa về bình phương của một biểu thức không.
4. Các trường hợp đặc biệt Một số đa thức không ngay lập tức thấy được hằng đẳng thức mà bạn cần nhóm các hạng tử lại hoặc đặt ẩn phụ. Ví dụ:
Phân tíchx 2 + 2 x y + y 2 + 2 x + 2 y + 1 x^2 + 2xy + y^2 + 2x + 2y + 1 x 2 + 2 x y + y 2 + 2 x + 2 y + 1
' in math mode at position 1:
$' in math mode at position 1:$
̲x^2 + 2xy + y^2…" style="color:#cc0000">$x^2 + 2xy + y^2 + 2x + 2y + 1 = (x + y)^2 + 2(x + y) + 1 = [(x + y) + 1]^2
$$$x^2 + 2xy + y^2 + 2x + 2y + 1 = (x + y)^2 + 2(x + y) + 1 = [(x + y) + 1]^2$$
$
Liên hệ: Khi phân tích thành nhân tử một đa thức, nhiều khi cần biến đổi tư duy linh hoạt giữa các dạng đã học.
5. Lỗi thường gặp và cách tránh 5.1 Lỗi về khái niệm - Nhầm hằng đẳng thức: nhiều bạn không thuộc thứ tự các hệ số hoặc ký hiệu dấu. Luôn kiểm tra kỹ từng hạng tử!
- Nhầm lẫn giữa phân tích thành nhân tử và rút gọn biểu thức.
- Cách phân biệt: Hãy hỏi "Đề bài đã là một tích chưa?" Nếu chưa — hãy dùng hằng đẳng thức hoặc các phương pháp khác để phân tích.
5.2 Lỗi về tính toán - Sai khi lấy căn số hạng, biểu thức gán nhầm dấu, thiếu hoặc thừa hệ số.
- Giải pháp: Sau khi phân tích xong, bạn nhân lại các nhân tử vừa tìm được để chắc chắn kết quả đúng.
6. Luyện tập miễn phí ngay Bạn có thể luyện tập với 42.226 bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức miễn phí. Không cần đăng ký, chỉ cần truy cập và bắt đầu luyện tập ngay lập tức. Hệ thống còn giúp bạn theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng từng ngày.
7. Tóm tắt và ghi nhớ Nắm vững các hằng đẳng thức cơ bản và các biến thể của chúng. Luôn xác định đúng cấu trúc đa thức trước khi áp dụng công thức. Thường xuyên luyện tập với đa dạng dạng bài và kiểm tra lại đáp số. Checklist trước khi làm bài:
Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Mỗi ngày hãy luyện tập ít nhất 5 bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức miễn phí để nâng cao tốc độ và độ chính xác.
Tác giả Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.
Theo dõi chúng tôi tại