1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung là một trong những kĩ năng nền tảng quan trọng của môn Toán lớp 8. Đây là khởi đầu cho việc học các phương pháp phân tích đa thức, giúp giải nhanh các bài toán đại số, rút gọn biểu thức, tìm nghiệm phương trình, và là nền tảng cho các chủ đề Toán học nâng cao hơn như giải phương trình, bất phương trình, và giải hệ phương trình. Nắm vững phương pháp này giúp học sinh tự tin hơn khi tiếp cận các bài toán đại số phức tạp.

2. Định nghĩa chính xác của phương pháp đặt nhân tử chung

Đặt nhân tử chung là phương pháp phân tích đa thức thành tích của một đa thức và một đa thức khác, trong đó bước đầu tiên là tìm ra phần tử (hệ số, biến số hoặc biểu thức) xuất hiện ở tất cả các hạng tử của đa thức rồi đặt phần tử đó ra ngoài dấu ngoặc.

Nói cách khác: “Đặt nhân tử chung là quá trình tách một yếu tố chung (số, biến, hoặc nhóm biến) ở các hạng tử của đa thức ra ngoài dấu ngoặc.”

Khi đó, đa thức được viết lại dưới dạng:$A imes B + A imes C = A imes (B + C)$

3. Các bước thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Ta thực hiện theo các bước sau:

- Bước 1: Quan sát các hạng tử để tìm nhân tử chung (có thể là số, chữ, nhóm chữ).

- Bước 2: Đặt nhân tử chung đó ra ngoài dấu ngoặc.

- Bước 3: Trong ngoặc là tổng các phần còn lại sau khi đã tách nhân tử chung.

- Bước 4: Kiểm tra lại bằng phép nhân phân phối: nhân lại xem có về đa thức ban đầu hay không.

4. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Phân tích$6x^2y - 9xy^2$thành nhân tử.

• Bước 1: Tìm nhân tử chung cho cả hai hạng tử:$6x^2y$và $-9xy^2$đều có nhân tử chung là$3xy$.

• Bước 2: Đặt$3xy$ra ngoài dấu ngoặc:

$6x^2y - 9xy^2 = 3xy(2x - 3y)$

• Bước 3: Kiểm tra lại:

$3xy(2x - 3y) = 3xy \times 2x - 3xy \times 3y = 6x^2y - 9xy^2$(đúng với biểu thức ban đầu).

Ví dụ 2: Phân tích$5a^2b + 15ab^2 + 10ab$thành nhân tử.

Các hạng tử đều có nhân tử chung là $5ab$.

Đặt$5ab$ra ngoài dấu ngoặc:

$5a^2b + 15ab^2 + 10ab = 5ab(a + 3b + 2)$

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Đôi khi nhóm các hạng tử để thuận tiện cho việc đặt nhân tử chung là cần thiết. Ví dụ:$ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)$.

- Nếu đa thức có dấu trừ phía trước nhóm hạng tử, phải đặc biệt chú ý dấu khi đặt nhân tử chung.

- Nếu không có nhân tử chung cho tất cả các hạng tử, có thể thử nhóm các hạng tử lại rồi tìm nhân tử chung theo nhóm.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Kĩ năng này chính là ứng dụng của quy tắc phân phối trong phép nhân:$A(B + C) = AB + AC$.

Phân tích đa thức thành nhân tử còn quan hệ chặt chẽ với các chủ đề như rút gọn phân thức đại số, giải phương trình và bất phương trình, giải hệ phương trình, ...

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Phân tích$12x^3y^2 - 8x^2y^3$thành nhân tử.

Giải:

Cả hai hạng tử đều có nhân tử chung là $4x^2y^2$.

$12x^3y^2 - 8x^2y^3 = 4x^2y^2(3x - 2y)$

Bài tập 2: Phân tích$7x - 14$thành nhân tử.

Giải: Nhân tử chung là $7$.

$7x - 14 = 7(x - 2)$

Bài tập 3: Phân tích$x^2 - 2x + 3x - 6$thành nhân tử.

Giải:

$x^2 - 2x + 3x - 6 = (x^2 - 2x) + (3x - 6)$

Đặt$x$ra ngoài ở nhóm đầu,$3$ra ở nhóm sau:

$x(x - 2) + 3(x - 2) = (x + 3)(x - 2)$

Bài tập 4: Phân tích$ab - ac - b + c$thành nhân tử.

Giải:

$(ab - ac) + (-b + c) = a(b - c) - 1(b - c) = (a - 1)(b - c)$

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Không đặt hết nhân tử chung lớn nhất (chỉ đặt số hoặc chỉ đặt biến, chưa đầy đủ).

- Sai sót khi lấy dấu trong ngoặc, nhất là khi phân tích nhóm có dấu trừ.

- Không nhóm hạng tử hợp lý để tìm được nhân tử chung.

- Không kiểm tra lại kết quả bằng phép phân phối.

9. Tóm tắt - Các điểm chính cần nhớ

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung là kỹ năng trọng tâm lớp 8.

- Tìm kỹ nhân tử chung lớn nhất (bao gồm cả số và biến).

- Đôi khi phải nhóm các hạng tử hợp lý.

- Luôn kiểm tra đáp án bằng cách nhân lại.

- Thành thạo phương pháp này giúp học tốt các chủ đề đại số khác sau này.