Giới thiệu về phương pháp đặt nhân tử chung Trong chương trình Toán lớp 8, một trong những kỹ năng quan trọng giúp các em giải toán đại số hiệu quả hơn là hiểu rõ và vận dụng thành thạo phương pháp đặt nhân tử chung. Đây là kỹ thuật nền tảng đầu tiên trong chủ đề "Phân tích đa thức thành nhân tử". Nếu nắm vững cách đặt nhân tử chung, các em sẽ dễ dàng thực hiện các phép biến đổi đại số phục vụ cho việc giải phương trình, rút gọn biểu thức hoặc chứng minh đẳng thức – những nội dung xuyên suốt chương trình toán học bậc THCS.
Định nghĩa phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp đặt nhân tử chung là kỹ thuật phân tích một đa thức thành dạng tích của các nhân tử, bằng cách tìm và đưa nhân tử chung (cùng xuất hiện ở các hạng tử của đa thức) ra ngoài dấu ngoặc.
Cụ thể, nếu mỗi hạng tử của đa thức đều chứa một nhân tử giống nhau, thì có thể "đặt" nhân tử đó ra ngoài dấu ngoặc. Đa thức ban đầu sẽ được trình bày như sau:
Với hai hạng tử: a b + a c = a ( b + c ) ab + ac = a(b + c) ab + a c = a ( b + c )
Với ba hạng tử trở lên: a x + a y + a z = a ( x + y + z ) ax + ay + az = a(x + y + z) a x + a y + a z = a ( x + y + z )
Các bước thực hiện đặt nhân tử chung Để hiểu rõ cách đặt nhân tử chung, hãy cùng tìm hiểu các bước cơ bản qua ví dụ cụ thể.
Bước 1: Tìm nhân tử chung Quan sát các hạng tử trong đa thức, xác định nhân tử (số, biến, hoặc biểu thức) xuất hiện ở tất cả các hạng tử đó.
Bước 2: Đặt nhân tử chung ra ngoài ngoặc Viết nhân tử chung trước dấu ngoặc, bên trong dấu ngoặc là phần còn lại của các hạng tử sau khi đã "lấy" nhân tử chung ra ngoài.
Bước 3: Kiểm tra và rút gọn nếu cần Đảm bảo rằng các hạng tử trong ngoặc không còn nhân tử chung nữa. Nếu còn, lặp lại quá trình hoặc tiếp tục áp dụng các phương pháp phân tích khác.
Ví dụ minh họa chi tiết Ví dụ 1: Phân tích6 x 2 + 9 x 6x^2 + 9x 6 x 2 + 9 x
Bước 1: Hạng tử 6 x 2 6x^2 6 x 2 9 x 9x 9 x 3 x 3x 3 x
9 x = 3 x × 3 9x = 3x \times 3 9 x = 3 x × 3
Bước 2: Đặt nhân tử chung3 x 3x 3 x
6 x 2 + 9 x = 3 x ( 2 x + 3 ) 6x^2 + 9x = 3x(2x + 3) 6 x 2 + 9 x = 3 x ( 2 x + 3 )
Ví dụ 2: Phân tích12 a 3 b − 18 a 2 b 2 + 6 a b 12a^3b - 18a^2b^2 + 6ab 12 a 3 b − 18 a 2 b 2 + 6 ab
Hạng tử chung là 6 a b 6ab 6 ab
" data-math-type="inline">
6 x 2 = 3 x × 2 x ; < ! − − L A T E X P R O C E S S E D 1 755142253020 − − > < / c o d e > < c o d e c l a s s = " b g − g r a y − 100 p x − 1 r o u n d e d " > < s p a n c l a s s = " m a t h − i n l i n e " > < s p a n c l a s s = " k a t e x " > < s p a n c l a s s = " k a t e x − m a t h m l " > < m a t h x m l n s = " h t t p : / / w w w . w 3. o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L " > < s e m a n t i c s > < m r o w > < m n > 9 < / m n > < m i > x < / m i > < m o > = < / m o > < m n > 3 < / m n > < m i > x < / m i > < m o > × < / m o > < m n > 3 < / m n > < / m r o w > < a n n o t a t i o n e n c o d i n g = " a p p l i c a t i o n / x − t e x " > 9 x = 3 x × 3 < / a n n o t a t i o n > < / s e m a n t i c s > < / m a t h > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " k a t e x − h t m l " a r i a − h i d d e n = " t r u e " > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6444 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 9 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m r e l " > = < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.7278 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 3 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m b i n " > × < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6444 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 3 < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < ! − − L A T E X P R O C E S S E D 1 755142253021 − − > < / c o d e > < / p > < p > B ướ c 2 : Đặ t n h a ^ n t ử c h u n g < s p a n c l a s s = " m a t h − i n l i n e " > < s p a n c l a s s = " k a t e x " > < s p a n c l a s s = " k a t e x − m a t h m l " > < m a t h x m l n s = " h t t p : / / w w w . w 3. o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L " > < s e m a n t i c s > < m r o w > < m n > 3 < / m n > < m i > x < / m i > < / m r o w > < a n n o t a t i o n e n c o d i n g = " a p p l i c a t i o n / x − t e x " > 3 x < / a n n o t a t i o n > < / s e m a n t i c s > < / m a t h > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " k a t e x − h t m l " a r i a − h i d d e n = " t r u e " > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6444 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 3 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > r a n g o a ˋ i : < ! − − L A T E X P R O C E S S E D 1 755142253021 − − > < / p > < p > < c o d e c l a s s = " b g − g r a y − 100 p x − 1 r o u n d e d " > < s p a n c l a s s = " m a t h − i n l i n e " > < s p a n c l a s s = " k a t e x " > < s p a n c l a s s = " k a t e x − m a t h m l " > < m a t h x m l n s = " h t t p : / / w w w . w 3. o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L " > < s e m a n t i c s > < m r o w > < m n > 6 < / m n > < m s u p > < m i > x < / m i > < m n > 2 < / m n > < / m s u p > < m o > + < / m o > < m n > 9 < / m n > < m i > x < / m i > < m o > = < / m o > < m n > 3 < / m n > < m i > x < / m i > < m o s t r e t c h y = " f a l s e " > ( < / m o > < m n > 2 < / m n > < m i > x < / m i > < m o > + < / m o > < m n > 3 < / m n > < m o s t r e t c h y = " f a l s e " > ) < / m o > < / m r o w > < a n n o t a t i o n e n c o d i n g = " a p p l i c a t i o n / x − t e x " > 6 x 2 + 9 x = 3 x ( 2 x + 3 ) < / a n n o t a t i o n > < / s e m a n t i c s > < / m a t h > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " k a t e x − h t m l " a r i a − h i d d e n = " t r u e " > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8974 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 6 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s u p s u b " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − r " > < s p a n c l a s s = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; m a r g i n − r i g h t : 0.05 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " s i z i n g r e s e t − s i z e 6 s i z e 3 m t i g h t " > < s p a n c l a s s = " m o r d m t i g h t " > 2 < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m b i n " > + < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6444 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 9 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m r e l " > = < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2778 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 1 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.25 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 3 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o p e n " > ( < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 2 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > x < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m b i n " > + < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 1 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.25 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 3 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m c l o s e " > ) < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < ! − − L A T E X P R O C E S S E D 1 755142253022 − − > < / c o d e > < / p > < p > V ı ˊ d ụ 2 : P h a ^ n t ı ˊ c h < s p a n c l a s s = " m a t h − i n l i n e " > < s p a n c l a s s = " k a t e x " > < s p a n c l a s s = " k a t e x − m a t h m l " > < m a t h x m l n s = " h t t p : / / w w w . w 3. o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L " > < s e m a n t i c s > < m r o w > < m n > 12 < / m n > < m s u p > < m i > a < / m i > < m n > 3 < / m n > < / m s u p > < m i > b < / m i > < m o > − < / m o > < m n > 18 < / m n > < m s u p > < m i > a < / m i > < m n > 2 < / m n > < / m s u p > < m s u p > < m i > b < / m i > < m n > 2 < / m n > < / m s u p > < m o > + < / m o > < m n > 6 < / m n > < m i > a < / m i > < m i > b < / m i > < / m r o w > < a n n o t a t i o n e n c o d i n g = " a p p l i c a t i o n / x − t e x " > 12 a 3 b − 18 a 2 b 2 + 6 a b < / a n n o t a t i o n > < / s e m a n t i c s > < / m a t h > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " k a t e x − h t m l " a r i a − h i d d e n = " t r u e " > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8974 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 12 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > a < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s u p s u b " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − r " > < s p a n c l a s s = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; m a r g i n − r i g h t : 0.05 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " s i z i n g r e s e t − s i z e 6 s i z e 3 m t i g h t " > < s p a n c l a s s = " m o r d m t i g h t " > 3 < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > b < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m b i n " > − < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8974 e m ; v e r t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 18 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > a < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s u p s u b " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − r " > < s p a n c l a s s = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; m a r g i n − r i g h t : 0.05 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " s i z i n g r e s e t − s i z e 6 s i z e 3 m t i g h t " > < s p a n c l a s s = " m o r d m t i g h t " > 2 < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > b < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s u p s u b " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − t " > < s p a n c l a s s = " v l i s t − r " > < s p a n c l a s s = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " > < s p a n s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; m a r g i n − r i g h t : 0.05 e m ; " > < s p a n c l a s s = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " s i z i n g r e s e t − s i z e 6 s i z e 3 m t i g h t " > < s p a n c l a s s = " m o r d m t i g h t " > 2 < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m b i n " > + < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m s p a c e " s t y l e = " m a r g i n − r i g h t : 0.2222 e m ; " > < / s p a n > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6944 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 6 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > a b < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > t h a ˋ n h n h a ^ n t ử . < ! − − L A T E X P R O C E S S E D 1 755142253024 − − > < / p > < p > H ạ n g t ử c h u n g l a ˋ < s p a n c l a s s = " m a t h − i n l i n e " > < s p a n c l a s s = " k a t e x " > < s p a n c l a s s = " k a t e x − m a t h m l " > < m a t h x m l n s = " h t t p : / / w w w . w 3. o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L " > < s e m a n t i c s > < m r o w > < m n > 6 < / m n > < m i > a < / m i > < m i > b < / m i > < / m r o w > < a n n o t a t i o n e n c o d i n g = " a p p l i c a t i o n / x − t e x " > 6 a b < / a n n o t a t i o n > < / s e m a n t i c s > < / m a t h > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " k a t e x − h t m l " a r i a − h i d d e n = " t r u e " > < s p a n c l a s s = " b a s e " > < s p a n c l a s s = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6944 e m ; " > < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d " > 6 < / s p a n > < s p a n c l a s s = " m o r d m a t h n o r m a l " > a b < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > < / s p a n > ( c u ˋ n g x u a ^ ˊ t h i ệ n t r o n g c ả 3 h ạ n g t ử ) : < ! − − L A T E X P R O C E S S E D 1 755142253024 − − > < / p > < p > < c o d e c l a s s = " b g − g r a y − 100 p x − 1 r o u n d e d " > 6x^2 = 3x \times 2x;<!--LATEX_PROCESSED_1755142253020--></code><code class="bg-gray-100 px-1 rounded"><span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>9</mn><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">9x = 3x \times 3</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">9</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">3</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">3</span></span></span></span></span><!--LATEX_PROCESSED_1755142253021--></code></p><p>Bước 2: Đặt nhân tử chung<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>3</mn><mi>x</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">3x</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">3</span><span class="mord mathnormal">x</span></span></span></span></span>ra ngoài:<!--LATEX_PROCESSED_1755142253021--></p><p><code class="bg-gray-100 px-1 rounded"><span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>6</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>9</mn><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8974em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">6</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">x</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">9</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">3</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">2</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">3</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></span><!--LATEX_PROCESSED_1755142253022--></code></p><p>Ví dụ 2: Phân tích<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>12</mn><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup><mi>b</mi><mo>−</mo><mn>18</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>6</mn><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">12a^3b - 18a^2b^2 + 6ab</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8974em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">12</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">a</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">3</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal">b</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8974em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">18</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">a</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">b</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord">6</span><span class="mord mathnormal">ab</span></span></span></span></span>thành nhân tử.<!--LATEX_PROCESSED_1755142253024--></p><p>Hạng tử chung là <span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>6</mn><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">6ab</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord">6</span><span class="mord mathnormal">ab</span></span></span></span></span>(cùng xuất hiện trong cả 3 hạng tử):<!--LATEX_PROCESSED_1755142253024--></p><p><code class="bg-gray-100 px-1 rounded"> 6 x 2 = 3 x × 2 x ; < ! − − L A TE X P ROCESSE D 1 755142253020 − − >< / co d e >< co d ec l a ss = " b g − g r a y − 100 p x − 1 ro u n d e d " >< s p an c l a ss = " ma t h − in l in e " >< s p an c l a ss = " ka t e x " >< s p an c l a ss = " ka t e x − ma t hm l " >< ma t h x m l n s = " h ttp : // www . w 3. or g /1998/ M a t h / M a t h M L " >< se man t i cs >< m ro w >< mn > 9 < / mn >< mi > x < / mi >< m o >=< / m o >< mn > 3 < / mn >< mi > x < / mi >< m o > × < / m o >< mn > 3 < / mn >< / m ro w >< ann o t a t i o n e n co d in g = " a ppl i c a t i o n / x − t e x " > 9 x = 3 x × 3 < / ann o t a t i o n >< / se man t i cs >< / ma t h >< / s p an >< s p an c l a ss = " ka t e x − h t m l " a r ia − hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6444 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 9 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m re l " >=< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.7278 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 3 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " mbin " > × < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6444 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 3 < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< ! − − L A TE X P ROCESSE D 1 755142253021 − − >< / co d e >< / p >< p > B ư ớ c 2 : Đ ặ t nh a ^ n t ử c h u n g < s p an c l a ss = " ma t h − in l in e " >< s p an c l a ss = " ka t e x " >< s p an c l a ss = " ka t e x − ma t hm l " >< ma t h x m l n s = " h ttp : // www . w 3. or g /1998/ M a t h / M a t h M L " >< se man t i cs >< m ro w >< mn > 3 < / mn >< mi > x < / mi >< / m ro w >< ann o t a t i o n e n co d in g = " a ppl i c a t i o n / x − t e x " > 3 x < / ann o t a t i o n >< / se man t i cs >< / ma t h >< / s p an >< s p an c l a ss = " ka t e x − h t m l " a r ia − hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6444 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 3 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an > r an g o a ˋ i :< ! − − L A TE X P ROCESSE D 1 755142253021 − − >< / p >< p >< co d ec l a ss = " b g − g r a y − 100 p x − 1 ro u n d e d " >< s p an c l a ss = " ma t h − in l in e " >< s p an c l a ss = " ka t e x " >< s p an c l a ss = " ka t e x − ma t hm l " >< ma t h x m l n s = " h ttp : // www . w 3. or g /1998/ M a t h / M a t h M L " >< se man t i cs >< m ro w >< mn > 6 < / mn >< m s u p >< mi > x < / mi >< mn > 2 < / mn >< / m s u p >< m o > + < / m o >< mn > 9 < / mn >< mi > x < / mi >< m o >=< / m o >< mn > 3 < / mn >< mi > x < / mi >< m os t re t c h y = " f a l se " > ( < / m o >< mn > 2 < / mn >< mi > x < / mi >< m o > + < / m o >< mn > 3 < / mn >< m os t re t c h y = " f a l se " > ) < / m o >< / m ro w >< ann o t a t i o n e n co d in g = " a ppl i c a t i o n / x − t e x " > 6 x 2 + 9 x = 3 x ( 2 x + 3 ) < / ann o t a t i o n >< / se man t i cs >< / ma t h >< / s p an >< s p an c l a ss = " ka t e x − h t m l " a r ia − hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8974 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 6 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< s p an c l a ss = " m s u p s u b " >< s p an c l a ss = " v l i s t − t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − r " >< s p an c l a ss = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " >< s p an s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; ma r g in − r i g h t : 0.05 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " s i z in g rese t − s i ze 6 s i ze 3 m t i g h t " >< s p an c l a ss = " m or d m t i g h t " > 2 < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " mbin " > + < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6444 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 9 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m re l " >=< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2778 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 1 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.25 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 3 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< s p an c l a ss = " m o p e n " > ( < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 2 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > x < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " mbin " > + < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 1 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.25 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 3 < / s p an >< s p an c l a ss = " m c l ose " > ) < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< ! − − L A TE X P ROCESSE D 1 755142253022 − − >< / co d e >< / p >< p > V ı ˊ d ụ2 : P h a ^ n t ı ˊ c h < s p an c l a ss = " ma t h − in l in e " >< s p an c l a ss = " ka t e x " >< s p an c l a ss = " ka t e x − ma t hm l " >< ma t h x m l n s = " h ttp : // www . w 3. or g /1998/ M a t h / M a t h M L " >< se man t i cs >< m ro w >< mn > 12 < / mn >< m s u p >< mi > a < / mi >< mn > 3 < / mn >< / m s u p >< mi > b < / mi >< m o > − < / m o >< mn > 18 < / mn >< m s u p >< mi > a < / mi >< mn > 2 < / mn >< / m s u p >< m s u p >< mi > b < / mi >< mn > 2 < / mn >< / m s u p >< m o > + < / m o >< mn > 6 < / mn >< mi > a < / mi >< mi > b < / mi >< / m ro w >< ann o t a t i o n e n co d in g = " a ppl i c a t i o n / x − t e x " > 12 a 3 b − 18 a 2 b 2 + 6 ab < / ann o t a t i o n >< / se man t i cs >< / ma t h >< / s p an >< s p an c l a ss = " ka t e x − h t m l " a r ia − hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8974 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 12 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > a < / s p an >< s p an c l a ss = " m s u p s u b " >< s p an c l a ss = " v l i s t − t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − r " >< s p an c l a ss = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " >< s p an s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; ma r g in − r i g h t : 0.05 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " s i z in g rese t − s i ze 6 s i ze 3 m t i g h t " >< s p an c l a ss = " m or d m t i g h t " > 3 < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > b < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " mbin " > − < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8974 e m ; v er t i c a l − a l i g n : − 0.0833 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 18 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > a < / s p an >< s p an c l a ss = " m s u p s u b " >< s p an c l a ss = " v l i s t − t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − r " >< s p an c l a ss = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " >< s p an s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; ma r g in − r i g h t : 0.05 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " s i z in g rese t − s i ze 6 s i ze 3 m t i g h t " >< s p an c l a ss = " m or d m t i g h t " > 2 < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > b < / s p an >< s p an c l a ss = " m s u p s u b " >< s p an c l a ss = " v l i s t − t " >< s p an c l a ss = " v l i s t − r " >< s p an c l a ss = " v l i s t " s t y l e = " h e i g h t : 0.8141 e m ; " >< s p an s t y l e = " t o p : − 3.063 e m ; ma r g in − r i g h t : 0.05 e m ; " >< s p an c l a ss = " p s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 2.7 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " s i z in g rese t − s i ze 6 s i ze 3 m t i g h t " >< s p an c l a ss = " m or d m t i g h t " > 2 < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " mbin " > + < / s p an >< s p an c l a ss = " m s p a ce " s t y l e = " ma r g in − r i g h t : 0.2222 e m ; " >< / s p an >< / s p an >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6944 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 6 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > ab < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an > t h a ˋ nhnh a ^ n t ử. < ! − − L A TE X P ROCESSE D 1 755142253024 − − >< / p >< p > H ạ n g t ử c h u n g l a ˋ < s p an c l a ss = " ma t h − in l in e " >< s p an c l a ss = " ka t e x " >< s p an c l a ss = " ka t e x − ma t hm l " >< ma t h x m l n s = " h ttp : // www . w 3. or g /1998/ M a t h / M a t h M L " >< se man t i cs >< m ro w >< mn > 6 < / mn >< mi > a < / mi >< mi > b < / mi >< / m ro w >< ann o t a t i o n e n co d in g = " a ppl i c a t i o n / x − t e x " > 6 ab < / ann o t a t i o n >< / se man t i cs >< / ma t h >< / s p an >< s p an c l a ss = " ka t e x − h t m l " a r ia − hi dd e n = " t r u e " >< s p an c l a ss = " ba se " >< s p an c l a ss = " s t r u t " s t y l e = " h e i g h t : 0.6944 e m ; " >< / s p an >< s p an c l a ss = " m or d " > 6 < / s p an >< s p an c l a ss = " m or d ma t hn or ma l " > ab < / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an >< / s p an > ( c u ˋ n gxu a ^ ˊ t hi ệ n t ro n g c ả3 h ạ n g t ử ) :< ! − − L A TE X P ROCESSE D 1 755142253024 − − >< / p >< p >< co d ec l a ss = " b g − g r a y − 100 p x − 1 ro u n d e d " > $6x^2 = 3x \times 2x; 9 x = 3 x × 3 9x = 3x \times 3 9 x = 3 x × 3
Bước 2: Đặt nhân tử chung3 x 3x 3 x
6 x 2 + 9 x = 3 x ( 2 x + 3 ) 6x^2 + 9x = 3x(2x + 3) 6 x 2 + 9 x = 3 x ( 2 x + 3 )
Ví dụ 2: Phân tích12 a 3 b − 18 a 2 b 2 + 6 a b 12a^3b - 18a^2b^2 + 6ab 12 a 3 b − 18 a 2 b 2 + 6 ab
Hạng tử chung là 6 a b 6ab 6 ab
$
12a^3b = 6ab \times 2a^2;$-18a^2b^2 = 6ab \times (-3ab);6 a b = 6 a b × 1 6ab = 6ab \times 1 6 ab = 6 ab × 1
Vậy:
12 a 3 b − 18 a 2 b 2 + 6 a b = 6 a b ( 2 a 2 − 3 a b + 1 ) 12a^3b - 18a^2b^2 + 6ab = 6ab(2a^2 - 3ab + 1) 12 a 3 b − 18 a 2 b 2 + 6 ab = 6 ab ( 2 a 2 − 3 ab + 1 )
Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi đặt nhân tử chung 1. Có thể xuất hiện số âm là nhân tử chung.
Ví dụ:− 4 x + 8 = − 4 ( x − 2 ) -4x + 8 = -4(x - 2) − 4 x + 8 = − 4 ( x − 2 )
2. Khi có dấu ngoặc hoặc đa thức phức tạp, nên kiểm tra các nhóm hạng tử khác nhau để tìm nhân tử chung.
3. Có thể kết hợp đặt nhân tử chung với các phương pháp khác như nhóm hạng tử.
4. Nhân tử chung có thể là biểu thức gồm nhiều biến.
Ví dụ:x ( y + 2 ) + 3 ( y + 2 ) = ( x + 3 ) ( y + 2 ) x(y + 2) + 3(y + 2) = (x + 3)(y + 2) x ( y + 2 ) + 3 ( y + 2 ) = ( x + 3 ) ( y + 2 )
Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác Phương pháp đặt nhân tử chung có mối liên hệ trực tiếp với:a ( b + c ) = a b + a c a(b + c) = ab + ac a ( b + c ) = ab + a c
Bài tập mẫu và lời giải chi tiết Bài 1: Phân tích thành nhân tử:10 x 3 y − 25 x 2 y 2 10x^3y - 25x^2y^2 10 x 3 y − 25 x 2 y 2
Giải:10 x 3 y = 5 x 2 y × 2 x 10x^3y = 5x^2y \times 2x 10 x 3 y = 5 x 2 y × 2 x − 25 x 2 y 2 = 5 x 2 y × ( − 5 y ) -25x^2y^2 = 5x^2y \times (-5y) − 25 x 2 y 2 = 5 x 2 y × ( − 5 y ) 5 x 2 y 5x^2y 5 x 2 y 10 x 3 y − 25 x 2 y 2 = 5 x 2 y ( 2 x − 5 y ) 10x^3y - 25x^2y^2 = 5x^2y(2x - 5y) 10 x 3 y − 25 x 2 y 2 = 5 x 2 y ( 2 x − 5 y )
Bài 2: Phân tích thành nhân tử:a 2 b + a b 2 a^2b + ab^2 a 2 b + a b 2
Giải:a b ab ab a 2 b + a b 2 = a b ( a + b ) a^2b + ab^2 = ab(a + b) a 2 b + a b 2 = ab ( a + b )
Bài 3: Phân tích thành nhân tử:7 x 2 y − 14 x y 2 + 21 x y 7x^2y - 14xy^2 + 21xy 7 x 2 y − 14 x y 2 + 21 x y
Giải:7 x y 7xy 7 x y 7 x 2 y = 7 x y × x 7x^2y = 7xy \times x 7 x 2 y = 7 x y × x − 14 x y 2 = 7 x y × − 2 y -14xy^2 = 7xy \times -2y − 14 x y 2 = 7 x y × − 2 y 21 x y = 7 x y × 3 21xy = 7xy \times 3 21 x y = 7 x y × 3 7 x y 7xy 7 x y 7 x 2 y − 14 x y 2 + 21 x y = 7 x y ( x − 2 y + 3 ) 7x^2y - 14xy^2 + 21xy = 7xy(x - 2y + 3) 7 x 2 y − 14 x y 2 + 21 x y = 7 x y ( x − 2 y + 3 )
Các lỗi thường gặp và cách tránh - Không tìm đủ nhân tử chung (chỉ đặt một phần, không phải lớn nhất).
- Bỏ quên dấu âm hoặc sai dấu khi đặt nhân tử chung âm.
- Sai khi xác định phần còn lại trong ngoặc.
- Không kiểm tra lại kết quả.
Cách tránh : Luôn phân tích tách nhỏ các hạng tử, kiểm tra nhân tử chung kỹ lưỡng, thực hiện lại phép nhân để kiểm tra kết quả.
Tóm tắt & điểm cần nhớ về đặt nhân tử chung 1. Luôn kiểm tra kỹ càng các hạng tử để tìm nhân tử chung lớn nhất.
Kết luận Phương pháp đặt nhân tử chung là một phần không thể thiếu trong chương trình Toán lớp 8. Học tốt kỹ thuật này sẽ tạo nền tảng vững chắc để các em tiếp tục chinh phục các kiến thức đại số phức tạp hơn trong những năm tiếp theo.
Theo dõi chúng tôi tại