1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của tính bình phương của một hiệu

Trong chương trình toán học lớp 8, các hằng đẳng thức đáng nhớ đóng vai trò vô cùng quan trọng. Trong đó, "tính bình phương của một hiệu" là một trong ba hằng đẳng thức cơ bản, thường xuất hiện trong nhiều dạng toán như khai triển đa thức, rút gọn biểu thức, giải phương trình và ứng dụng vào thực tế. Nắm vững công thức này không chỉ giúp việc học Toán dễ dàng hơn, mà còn là nền tảng để học tốt các kiến thức đại số nâng cao sau này.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của khái niệm

Bình phương của một hiệu hai số (hoặc hai biểu thức) là phép toán lấy hiệu của hai số rồi bình phương kết quả đó. Công thức tổng quát như sau:

Công thức hằng đẳng thức:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Trong đó,$a$và $b$là hai số thực hoặc hai biểu thức đại số bất kỳ.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn về công thức trên, chúng ta sẽ cùng nhau khai triển biểu thức$(a - b)^2$từng bước:

Bước 1: Viết bình phương của một hiệu

$(a - b)^2 = (a - b) imes (a - b)$

Bước 2: Sử dụng phân phối để nhân các hạng tử

$(a - b) imes (a - b) = a imes a - a imes b - b imes a + b imes b$

Bước 3: Rút gọn các tích cùng loại:

$(a - b)^2 = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Vậy, ta có công thức tổng quát:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Ví dụ 1: Tính$(5 - 3)^2$.

- Sử dụng hằng đẳng thức: ở đây$a = 5$,$b = 3$.

$(5 - 3)^2 = 5^2 - 2 \times 5 \times 3 + 3^2 = 25 - 30 + 9 = 4$

- Kiểm tra lại bằng tính trực tiếp:$(5 - 3)^2 = 2^2 = 4$.

Ví dụ 2: Tính$(2x - 5)^2$.

$(2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x imes 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu$a = b$, thì $(a - b)^2 = (a - a)^2 = 0^2 = 0$.

- Nếu$b = 0$, thì $(a - 0)^2 = a^2$.

- Nếu$a < b$thì $(a - b)^2$vẫn là số dương hoặc$0$vì bình phương của một số luôn không âm.

Lưu ý: Dấu giữa$a^2$và $2ab$luôn là dấu trừ.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

"Tính bình phương của một hiệu" là một trong ba hằng đẳng thức đáng nhớ quan trọng cùng với:

• Bình phương của một tổng:$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Hiệu hai bình phương:$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Việc nắm chắc các công thức này sẽ hỗ trợ học sinh khi gặp các bài toán rút gọn, phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình, bất phương trình,…

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tính và rút gọn các biểu thức sau:

• $(7 - 4)^2$
• $(x - 2y)^2$
• $(3a - 5b)^2$

Lời giải:

-$(7 - 4)^2 = 7^2 - 2 \times 7 \times 4 + 4^2 = 49 - 56 + 16 = 9$

-$(x - 2y)^2 = x^2 - 2 \times x \times 2y + (2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$

-$(3a - 5b)^2 = (3a)^2 - 2 \times 3a \times 5b + (5b)^2 = 9a^2 - 30ab + 25b^2$

Bài tập 2: Cho$x = 2$,$y = -1$. Tính giá trị của$(x - y)^2$.

Lời giải:

$(x - y)^2 = (2 - (-1))^2 = (2 + 1)^2 = 3^2 = 9$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên dấu trừ ở $-2ab$(nhiều bạn viết nhầm sang dấu cộng như $(a - b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$).
• Nhân thiếu một hạng tử (thường chỉ viết$a^2 - b^2$).
• Quên bình phương cả $a$và $b$(chỉ viết$a - b^2$hoặc$a^2 - b$).

Để tránh sai sót, hãy luôn viết đầy đủ từng bước khai triển và kiểm tra lại từng hạng tử.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Bình phương của một hiệu hai số, hai biểu thức:$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• Dấu giữa$a^2$và $2ab$là dấu trừ.
• Bình phương của một số luôn không âm.
• Công thức này xuất hiện nhiều trong rút gọn biểu thức, biến đổi, giải phương trình,…

Học tốt hằng đẳng thức "tính bình phương của một hiệu" sẽ giúp các em tự tin giải quyết nhiều loại bài toán đại số và hình học trong chương trình lớp 8 và các lớp học toán nâng cao hơn.