Giới thiệu chung về "Tính bình phương của một tổng"

Trong chương trình Toán lớp 8, "Tính bình phương của một tổng" là một kiến thức nền tảng quan trọng. Không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi biểu thức, chủ đề này còn liên hệ chặt chẽ với các bài toán giải phương trình, rút gọn biểu thức đại số và cả hình học đại số sau này. Việc nắm vững công thức và bản chất của phép tính này sẽ giúp các em tự tin hơn với các bài kiểm tra cũng như hiểu sâu hơn các khái niệm toán học khác.

Định nghĩa chính xác về tính bình phương của một tổng

Khi cần tính bình phương của một tổng hai số (hoặc biểu thức), ta dùng công thức sau:

Công thức:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Trong đó,$a$và $b$là hai số hoặc hai biểu thức tùy ý.

Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ta cùng phân tích công thức trên để hiểu rõ hơn:

$(a + b)^2 = (a + b) imes (a + b)$

Sử dụng tính chất phân phối, ta nhân lần lượt:

$(a + b) imes (a + b) = a imes a + a imes b + b imes a + b imes b$

$= a^2 + ab + ba + b^2$

Vì $ab = ba$, nên:

$= a^2 + 2ab + b^2$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính$(x + 3)^2$

Áp dụng công thức:

$(x + 3)^2 = x^2 + 2 imes x \t \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

Ví dụ 2: Tính$(2a - 5)^2$

Chú ý:$b = -5$

$(2a - 5)^2 = (2a)^2 + 2 \times 2a imes (-5) + (-5)^2$
$= 4a^2 - 20a + 25$

Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Cần phân biệt dấu của các biểu thức (ví dụ, bình phương số âm vẫn cho kết quả dương).
- Nếu tổng bao gồm nhiều hơn hai số, việc áp dụng công thức sẽ khác, cần chia nhỏ thành các cặp hợp lý.

Với ba số $a$,$b$,$c$:

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Đừng nhầm lẫn dấu trừ, ví dụ:
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Liên hệ chặt với các hằng đẳng thức đáng nhớ khác như: bình phương của một hiệu, hiệu hai bình phương.
- Là cơ sở để giải phương trình bậc hai, phân tích đa thức thành nhân tử, tính nhanh trong các bài toán số học, hình học.
- Kết hợp với các công thức khác để biến đổi biểu thức phức tạp hơn.

Bài tập mẫu minh họa có lời giải chi tiết

Bài 1: Tính$(a + 4)^2$với$a = 2$

Áp dụng công thức:
$(a + 4)^2 = a^2 + 2 imes a \t \times 4 + 4^2 = a^2 + 8a + 16$
Thay$a = 2$vào, ta được:
$= 2^2 + 8 \times 2 + 16 = 4 + 16 + 16 = 36$

Bài 2: Rút gọn biểu thức$B = (2x - 1)^2 - (x + 3)^2$

Tính từng phần:
$(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$
$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 9 = x^2 + 6x + 9$
Kết hợp:
$B = (4x^2 - 4x + 1) - (x^2 + 6x + 9)$
$= 4x^2 - 4x + 1 - x^2 - 6x - 9$
$= (4x^2 - x^2) + (-4x - 6x) + (1 - 9)$
$= 3x^2 - 10x - 8$

Bài 3: Chứng minh rằng$x^2 + 6x + 9$luôn là một số chính phương.

Ta có:$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$. Mà bình phương của bất cứ số nguyên nào cũng là số chính phương. Do đó, biểu thức trên là số chính phương.

Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn công thức: Nhiều bạn viết$(a + b)^2 = a^2 + b^2$là sai. Phải có cả $2ab$.
- Quên dấu của$b$: Với$b$là số âm, chú ý $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
- Nhầm lẫn khi có ba số: Không áp dụng trực tiếp công thức hai số cho ba số.
- Quên khai triển hoàn toàn: Thiếu hoặc thừa hạng tử trong khai triển.

Tóm tắt và điểm chính cần nhớ

- Công thức căn bản:$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
- Chú ý dấu, đặc biệt khi gặp số âm hoặc biểu thức phức tạp.
- Bình phương của tổng có ý nghĩa quan trọng trong giải toán đại số, hình học.
- Không nhầm lẫn với các hằng đẳng thức khác như $(a - b)^2$hoặc$a^2 - b^2$.
- Luyện tập nhiều lần để thành thục áp dụng công thức cho nhiều trường hợp khác nhau.