1. Giới thiệu về tính chất đường phân giác của tam giác

Trong chương trình toán học lớp 8, hình học là một nội dung quan trọng giúp học sinh phát triển tư duy logic, kỹ năng suy luận và khả năng giải quyết vấn đề. Trong số các kiến thức quan trọng của chương trình, “Tính chất đường phân giác của tam giác” là một kiến thức nền tảng mà mọi học sinh cần nắm vững. Việc hiểu và áp dụng đúng tính chất này không chỉ giúp các em giải nhanh bài tập hình học mà còn hỗ trợ tốt cho các chương trình học cao hơn.

2. Định nghĩa đường phân giác và tính chất của nó

Đường phân giác của một góc trong tam giác là đường thẳng xuất phát từ đỉnh của góc đó và chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Trong một tam giác, có ba đường phân giác tương ứng với ba đỉnh.

Tính chất cơ bản của đường phân giác trong tam giác được phát biểu như sau:

Trong tam giác ABC, đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D. Khi đó:$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Hãy xét tam giác ABC với đường phân giác AD, D thuộc BC. Theo định nghĩa, góc BAD = góc CAD.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 4 cm. Gọi D là điểm thuộc BC sao cho AD là đường phân giác của góc A. Tính tỉ số BD : DC.

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:

Nghĩa là cạnh BC được chia thành hai đoạn BD và DC sao cho BD / DC = 3 / 2.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Tính chất này chỉ đúng cho đường phân giác trong tam giác, không áp dụng cho đường cao, đường trung tuyến, hoặc đường phân giác ngoài (ngoài tam giác).

- Nếu biết hai cạnh kề của một góc và biết tổng độ dài hai đoạn mà đường phân giác chia cạnh đối diện thành, ta có thể dùng tính chất để lập phương trình tìm các đoạn đó.

- Các trường hợp đặc biệt như tam giác cân, tam giác đều: khi áp dụng sẽ nhận được tỉ số 1 (vì hai cạnh kề bằng nhau nên đường phân giác cũng là đường trung tuyến, đường cao).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Trung điểm, đường trung tuyến và đường phân giác đều là các đường đặc biệt trong tam giác, mỗi đường lại có tính chất riêng biệt.

- Định lí Thales cho hình học (bài học liên quan trong chương 7) là cơ sở để chứng minh tính chất đường phân giác.

- Đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho tam giác ABC, AB = 5 cm, AC = 7 cm. Đường phân giác AD cắt BC tại D. Tính tỉ số BD : DC.

Giải:

Bài tập 2: Tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 6 cm, BC = 10 cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D. Tính độ dài BD và DC.

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác:

Gọi BD = 4x, DC = 3x. Khi đó:

Vậy BD =$4x = \frac{40}{7}$cm, DC =$3x = \frac{30}{7}$cm.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn giữa đường phân giác và các đường đặc biệt khác như đường cao, đường trung tuyến.

- Nhầm vị trí các cạnh khi áp dụng tính chất: phải nhớ rằng tỉ số là của hai đoạn trên cạnh bị chia, so với hai cạnh kề với góc.

- Không kiểm tra điều kiện áp dụng: chỉ dùng cho đường phân giác trong tam giác.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Đường phân giác của góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề góc đó.

• Tính chất này được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán hình học bậc THCS và các kỳ thi.

• Cẩn thận khi xác định đường phân giác, nhớ phân biệt với các đường đặc biệt khác.

• Nắm chắc định nghĩa, công thức và cách áp dụng sẽ giúp bạn giải các bài toán nhanh và chính xác.