Tính chất đường phân giác của tam giác: Lý thuyết, Ví dụ và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng về Tính chất đường phân giác của tam giác

Tính chất đường phân giác của tam giác là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học lớp 8 – đặc biệt trong phần Hình học chương 7: Định lí Thales. Hiểu rõ khái niệm và quy tắc giải của bài toán này giúp học sinh không chỉ nâng cao kĩ năng tư duy logic mà còn hỗ trợ giải nhiều dạng bài tập liên quan đến tỉ lệ, tam giác và đường thẳng.

Việc nắm vững Tính chất đường phân giác còn có ứng dụng thực tế trong đo đạc, thiết kế kỹ thuật, xây dựng và cả trong các bài toán thực tiễn. Ngoài ra, chủ đề này còn rất thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, thi học kì, thi vào lớp 10… Để hỗ trợ bạn luyện tập tốt, tại đây có hơn 42.226+ bài tập Tính chất đường phân giác của tam giác miễn phí giúp bạn luyện tập và kiểm tra tiến độ học tập của mình!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Đường phân giác trong tam giác là đường thẳng đi qua một đỉnh của tam giác và chia góc tại đỉnh đó thành hai góc bằng nhau.

- Ký hiệu thông dụng: Trong tam giác$ABC$, đường phân giác từ đỉnh$A$cắt cạnh$BC$tại điểm$D$.

- Định lý đường phân giác: “Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề góc đó.”

- Điều kiện áp dụng: Tam giác không phải là tam giác suy biến (không có đỉnh nào trùng hoặc cạnh dài 0).

2.2 Công thức và quy tắc

• - Công thức quan trọng: Nếu đường phân giác từ $A$cắt$BC$tại$D$thì $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$
• - Cách ghi nhớ: Hãy nghĩ “Phân giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề”.
• - Chỉ áp dụng khi$D$nằm trên$BC$, phân giác cắt đúng một cạnh đối diện tại một điểm.
• - Biến thể: Nếu biết tỷ số hai đoạn trên cạnh đối diện, có thể tìm lại cạnh hoặc ngược lại.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Trong tam giác$ABC$, biết$AB=6\,$cm,$AC=4\,$cm. Đường phân giác$AD$của góc$A$cắt$BC$tại$D$. Tính tínhtỷ số $\dfrac{BD}{DC}$.

Giải: Theo định lý đường phân giác, ta có:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Vậy$\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{3}{2}$.

- Lưu ý: Bạn cần xác định đúng các đoạn thẳng và vị trí điểm trên hình.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Trong tam giác$ABC$, biết$AB = 9\,$cm,$AC = 12\,$cm,$BC=15\,$cm. Đường phân giác$AD$cắt$BC$tại$D$. Tính độ dài các đoạn$BD$,$DC$.

Giải:

Theo định lý đường phân giác:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

Do$BD + DC = BC = 15$(cm), đặt$BD = 3x$,$DC = 4x \Rightarrow 3x + 4x = 15 \Leftrightarrow x = 2,14$(cm)

Kết quả:$BD = 3x = 6,43\,$cm;$DC = 4x = 8,57\,$cm.

- Lưu ý: Khi phân tích tổng đoạn bằng tổng số đo cạnh, bạn nên đặt ẩn, giải phương trình để tìm ra giá trị từng đoạn.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu đường phân giác là phân giác ngoài, công thức có thể đổi chiều tỉ số.

- Tam giác cân hoặc đều: Các đoạn chia đều nhau hoặc các phân giác trùng với các trung tuyến, đường cao, trung trực.

- Mối liên hệ với định lý Thales khi các đường thẳng song song chia các cạnh hoặc giao điểm phân giác.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• - Nhầm đường phân giác và trung tuyến, trung trực: Nên nhớ phân giác là chia góc, không phải chia cạnh đối diện bằng nhau.
• - Nhầm vị trí các đoạn trên cạnh đối diện khi áp dụng tỉ số.

5.2 Lỗi về tính toán

• - Không đặt ẩn khi tổng đoạn cần tìm biết trước.
• - Nhân chéo nhầm khi giải phương trình tỉ số.
• - Phép cộng/trừ sai số liệu.
• - Phương pháp kiểm tra: Thay vào kiểm tra tổng đoạn bằng đoạn cạnh ban đầu.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập 42.226+ bài tập Tính chất đường phân giác của tam giác miễn phí để luyện tập, kiểm tra và nâng cao kỹ năng. Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập ngay lập tức và theo dõi tiến độ của mình.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• - Đường phân giác chia một góc thành hai phần bằng nhau và chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề.
• - Công thức ghi nhớ:$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$(với$AD$là phân giác từ $A$).
• - Luôn kiểm tra vị trí các đoạn, tổng độ dài cạnh và xác định đúng các điểm.
• - Khi giải bài toán, đặt ẩn với tổng đoạn hoặc tỉ số nếu chưa biết rõ từng đoạn.

Checklist ôn tập:

• 1. Nắm vững định nghĩa và công thức đường phân giác.
• 2. Phân biệt phân giác với trung tuyến, trung trực, đường cao.
• 3. Thành thạo các bước đặt ẩn, lập tỉ số.
• 4. Luyện tập nhiều dạng bài tập để ghi nhớ lâu.

Chúc các em học tốt phần "Tính chất đường phân giác của tam giác" và đạt kết quả cao trong mọi kỳ thi!