Tính lập phương của một hiệu: Khái niệm, công thức và bài tập minh họa cho lớp 8

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Khái niệm “Tính lập phương của một hiệu” xuất hiện trong chương trình Toán 8 thuộc chuyên đề hằng đẳng thức đáng nhớ. Hiểu rõ và nắm được cách sử dụng công thức này là tiền đề quan trọng để giải các bài toán đại số, rút gọn, tính toán nhanh biểu thức, cũng như giải phương trình và bất phương trình khi lên các lớp cao hơn.

Tính lập phương của một hiệu không chỉ là bài tập trên lớp mà còn có nhiều ứng dụng thực tế như tính toán các thể tích, biểu diễn quy luật số học, hoặc tối ưu hóa trong các bài toán thực tế. Sự thành thạo về nhận diện và sử dụng công thức này sẽ giúp việc học Toán dễ dàng và hiệu quả hơn.

Bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập Tính lập phương của một hiệu ngay trên nền tảng của chúng tôi để làm chủ kiến thức!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Lập phương của một hiệu là biểu thức$(a - b)^3$, nghĩa là lấy hiệu của hai số rồi lấy kết quả đó lũy thừa 3.
• Hằng đẳng thức (công thức cần nhớ):
  $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
• Tính chất: Áp dụng được với mọi$a, b$là số thực, biểu thức hoặc ẩn số.

$a^3$ , $-3a^2b$ , $3ab^2$ , $-b^3$ và tổng $(a-b)^3$ khi a=2, b=1" title="Hình minh họa: Biểu đồ cột minh họa giá trị các hạng tử $a^3$ , $-3a^2b$ , $3ab^2$ , $-b^3$ và tổng $(a-b)^3$ khi a=2, b=1" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

Điều kiện áp dụng: Công thức đúng cho mọi giá trị $a, b$. Tuy nhiên, khi thay số cụ thể, các phép nhân, trừ cần chính xác.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức cần thuộc lòng:$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
• Cách ghi nhớ hiệu quả: Xem biểu thức là "trừ, cộng, trừ" xen kẽ (tập trung vào dấu). Nhớ rằng hệ số là 1, 3, 3, 1;
• Điều kiện sử dụng: Khi thấy biểu thức có dạng dạng$(a-b)^3$, hoặc cần khai triển/tính giá trị.
• Biến thể: Có thể chuyển thành lập phương của một tổng bằng cách đổi dấu:
  $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Tính$(2 - 1)^3$

Bước 1: Nhận diện dạng bài toán. Đây là dạng$(a-b)^3$với$a=2$,$b=1$.

Bước 2: Áp dụng công thức:

$(2-1)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 1^2 - 1^3$

$(2-1)^3 = 8 - 12 + 6 - 1 = 1$

Lưu ý:
- Cần chú ý đúng phép nhân, lũy thừa và dấu trong từng hạng tử.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Khai triển và rút gọn biểu thức$(x - 2y)^3$.

Áp dụng công thức:

$(x-2y)^3 = x^3 - 3x^2(2y) + 3x(2y)^2 - (2y)^3$

=$x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3$

Kỹ thuật giải nhanh: Có thể tính lần lượt từng hạng tử theo mũ giảm dần của$x$và tăng dần của$y$.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu$a = b$thì $(a-b)^3 = 0$
• Nếu$b = 0$thì $(a-0)^3 = a^3$
• Có thể sử dụng kết hợp với các hằng đẳng thức khác để phân tích các biểu thức phức tạp.

Mối liên hệ: Kết quả lập phương hiệu cũng liên hệ với phương trình bậc 3 và các phép biến đổi tổng-quy-tắc khác.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm$(a-b)^3$với$(a^3 - b^3)$: Hai biểu thức hoàn toàn khác nhau!
• Viết sai dấu trong các hạng tử (dấu +/– phải đúng theo công thức).

Phân biệt: Hãy thuộc lòng công thức, nhận diện rõ “hiệu” và lập phương, tránh nhầm thành công thức lập phương của một tổng.

5.2 Lỗi về tính toán

• Nhân sai hệ số (hay bị nhầm số 3 thành số 2 hoặc số 4).
• Tính sai lũy thừa, nhất là với số âm hoặc đa thức.
• Sai quy tắc dấu khi thay số vào biểu thức.

Hãy kiểm tra lại kết quả bằng cách thay giá trị cụ thể vào hai cách: tính hiệu trước rồi lập phương và khai triển công thức – nếu hai kết quả trùng nhau, bạn làm đúng.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Hãy truy cập bộ bài tập luyện tập Tính lập phương của một hiệu miễn phí với hơn 42.226+ đề ôn luyện. Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập ngay lập tức, làm đi làm lại để nâng cao kỹ năng. Hệ thống còn hỗ trợ theo dõi tiến độ và gợi ý luyện tập phù hợp trình độ.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Ghi nhớ công thức:$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
• Chú ý dấu và hệ số trong mỗi hạng tử
• Kiểm tra kết quả bằng nhiều cách để tránh sai sót

Checklist kiến thức trước khi làm bài:
- Có thuộc công thức không?
- Có biết áp dụng đúng vị trí và dấu chưa?
- Biết biến đổi lại thành tổng hoặc ngược lại?
- Biết nhận diện dạng bài?

Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Học lý thuyết đi kèm thực hành nhiều dạng bài. Đừng quên truy cập bộ bài tập “luyện tập Tính lập phương của một hiệu miễn phí” để củng cố và kiểm tra kiến thức mỗi ngày!