1. Giới thiệu về "Tổng và hiệu của hai lập phương" và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 8, các hằng đẳng thức đáng nhớ giữ vai trò trung tâm, giúp học sinh giải nhanh các bài toán đại số và hình thành năng lực tư duy logic. Một trong những hằng đẳng thức đáng nhớ quan trọng là tổng và hiệu của hai lập phương, xuất hiện nhiều trong các dạng bài phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình, cũng như tạo nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn ở bậc THPT và Đại học. Hiểu vững về tổng và hiệu của hai lập phương không chỉ giúp bạn giải toán hiệu quả mà còn rèn luyện khả năng biến đổi linh hoạt các biểu thức đại số.

2. Định nghĩa chính xác về tổng và hiệu của hai lập phương

Trong toán học, "lập phương" của một số là phép nhân số đó với chính nó ba lần, ký hiệu là $a^3$với$a$là một số thực bất kỳ.Tổng và hiệu của hai lập phương là các biểu thức có dạng$a^3 + b^3$và $a^3 - b^3$.

Tổng của hai lập phương:$a^3 + b^3$

Hiệu của hai lập phương:$a^3 - b^3$

Các biểu thức này có thể phân tích thành nhân tử theo hai công thức quan trọng sau:

- Tổng hai lập phương:
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
- Hiệu hai lập phương:
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để hiểu rõ công thức, hãy chứng minh và áp dụng công thức qua ví dụ:

- Tổng hai lập phương:

Ta có:$a^3 + b^3$.
Áp dụng công thức:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Chứng minh:

Khai triển$(a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2)$

=$a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$

=$a^3 + b^3$(vì $-a^2b + a^2b = 0$và $ab^2 - ab^2 = 0$)

Ví dụ: Phân tích$8x^3 + 27y^3$:(ta có $8x^3 = (2x)^3$,$27y^3 = (3y)^3$)

Áp dụng công thức:
$8x^3 + 27y^3 = (2x)^3 + (3y)^3 = (2x + 3y)[(2x)^2 - 2x \cdot 3y + (3y)^2]$

Tính toán tiếp:
-$(2x)^2 = 4x^2$
-$2x \cdot 3y = 6xy$
-$(3y)^2 = 9y^2$

Nên:
$8x^3 + 27y^3 = (2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$

- Hiệu hai lập phương:

Áp dụng công thức:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Chứng minh:

Khai triển$(a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a(a^2 + ab + b^2) - b(a^2 + ab + b^2)$

=$a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

=$a^3 - b^3$(vì $a^2b - a^2b = 0$và $ab^2 - ab^2 = 0$)

Ví dụ: Phân tích$x^3 - 8$:
Ta có $8 = 2^3$
Nên:
$x^3 - 8 = x^3 - (2)^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Khi phân tích đa thức thành nhân tử với tổng hoặc hiệu lập phương, cần nhận diện đúng biểu thức có dạng$a^3 + b^3$hoặc$a^3 - b^3$.
- Nếu$a$hoặc$b$có dạng phức tạp (chứa biến, hằng số), phải lấy đúng căn lập phương.
- Không nhầm lẫn với hằng đẳng thức về bình phương hoặc hiệu bình phương:$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

- Nếu chỉ có hai hạng tử và mỗi hạng tử đều mang dạng lập phương hoàn chỉnh mới áp dụng được công thức.

5. Mối liên hệ của tổng, hiệu hai lập phương với các khái niệm toán học khác

- Gắn bó chặt chẽ với các hằng đẳng thức đáng nhớ khác như bình phương của tổng/hiệu, hiệu hai bình phương.
- Tạo tiền đề cho các bài học về chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình bậc ba.
- Được sử dụng rộng rãi trong các bài tập về phương trình, bất phương trình và ứng dụng giải toán thực tế.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

- Bài 1: Phân tích$x^3 + 27$thành nhân tử.

Giải:$27 = 3^3$
Áp dụng hằng đẳng thức:
$x^3 + 27 = x^3 + (3)^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$

- Bài 2: Phân tích$64y^3 - 8$thành nhân tử.

Giải:$64y^3 = (4y)^3$,$8 = 2^3$
Áp dụng hằng đẳng thức:
$64y^3 - 8 = (4y)^3 - (2)^3 = (4y - 2)[(4y)^2 + 4y \cdot 2 + 4]$
$= (4y - 2)(16y^2 + 8y + 4)$

- Bài 3: Phân tích$x^3 - 9x^2 + 27x - 27$thành nhân tử.

Nhận thấy$x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = (x^3 - 27) - 9x^2 + 27x$
Ta nhóm:$(x^3 - 27) + ( -9x^2 + 27x )$
$x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$
$-9x^2 + 27x = -9x(x - 3)$
Chia tiếp với$(x - 3)$:
$= (x - 3)[x^2 + 3x + 9 - 9x] = (x - 3)(x^2 - 6x + 9)$
$= (x - 3)(x - 3)^2 = (x - 3)^3$
Vậy$x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = (x - 3)^3$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm tổng hai lập phương với bình phương của tổng, hoặc hiệu hai lập phương với hiệu hai bình phương.

- Không nhận diện đúng căn lập phương của mỗi hạng tử.

- Nhầm vị trí các dấu cộng, trừ trong các thành phần của công thức. Hãy nhớ:

- Tổng hai lập phương ($a^3 + b^3$): Đằng sau là dấu trừ và cộng xen kẽ:$(a + b)(a^2 - ab + b^2)$
- Hiệu hai lập phương ($a^3 - b^3$): Đằng sau là dấu cộng:$(a - b)(a^2 + ab + b^2)$

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Tổng và hiệu hai lập phương là những hằng đẳng thức đáng nhớ rất quan trọng trong Toán lớp 8 và các cấp học sau.
- Công thức cần thuộc lòng:

+$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
+$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

- Để sử dụng thành thạo, cần luyện tập nhiều dạng bài tập khác nhau và kiểm tra cẩn thận từng bước giải.
- Không nhầm lẫn với các hằng đẳng thức khác.