1. Giới thiệu về trừ hai đa thức và tầm quan trọng trong chương trình toán học

Ở chương trình Toán lớp 8, các phép toán với đa thức như cộng, trừ, nhân, chia đóng vai trò nền tảng cho kiến thức đại số sau này. Trừ hai đa thức không chỉ giúp rèn kỹ năng tính toán chính xác, mà còn làm cơ sở để học các phép toán phức tạp hơn như phân tích đa thức, giải phương trình, rút gọn biểu thức, hoặc giải toán có ứng dụng trong thực tiễn. Hiểu đúng và thành thạo phép trừ đa thức là bước quan trọng, giúp học sinh xây dựng nền tảng tư duy logic, và tự tin khi làm các bài toán đại số.

2. Định nghĩa chính xác về trừ hai đa thức

Trừ hai đa thức là quá trình lấy một đa thức (gọi là đa thức bị trừ) trừ đi một đa thức khác (gọi là đa thức trừ) bằng cách lấy từng hệ số của các đơn thức cùng bậc trong hai đa thức đó để thực hiện phép trừ tương ứng.

Ký hiệu: Nếu$A(x)$và $B(x)$là hai đa thức, khi đó đa thức hiệu là $A(x) - B(x)$.

Nhớ: Để trừ hai đa thức, ta đảo dấu tất cả các hạng tử của đa thức trừ rồi cộng với đa thức bị trừ.

3. Các bước thực hiện phép trừ hai đa thức với ví dụ minh họa

Các bước thực hiện:

- Bước 1: Viết hai đa thức theo cùng thứ tự các bậc giảm dần của biến (chuẩn hóa các đa thức).

- Bước 2: Đặt phép trừ hai đa thức như phép trừ hai số.

- Bước 3: Đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức trừ.

- Bước 4: Thực hiện cộng các đơn thức cùng bậc giữa hai đa thức sau khi đã đổi dấu đa thức trừ.

Ví dụ minh họa

Cho hai đa thức:$A(x) = 3x^2 + 2x - 5$,$B(x) = x^2 - 4x + 1$Tính$A(x) - B(x)$.

• Viết lại phép trừ:

$A(x) - B(x) = [3x^2 + 2x - 5] - [x^2 - 4x + 1]$

• Đổi dấu đa thức trừ:

$A(x) - B(x) = 3x^2 + 2x - 5 - x^2 + 4x - 1$

• Gom các đơn thức cùng bậc:

$A(x) - B(x) = (3x^2 - x^2) + (2x + 4x) + (-5 - 1)$

• Kết quả cuối cùng:

$A(x) - B(x) = 2x^2 + 6x - 6$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

a. Khi đa thức có bậc không giống nhau: Đa thức có thể thiếu một số bậc của biến, hãy điền số 0 vào hệ số của những bậc đó để dễ thao tác.

Ví dụ:$P(x) = 2x^3 + 4$,$Q(x) = x^2 + 3$.
Để trừ, ta viết:$P(x) = 2x^3 + 0x^2 + 0x + 4$,$Q(x) = 0x^3 + x^2 + 0x + 3$.
Kết quả:$P(x) - Q(x) = 2x^3 - x^2 + 0x + 1$.

b. Khi trong đa thức có nhiều biến: Thực hiện trừ với từng đơn thức cùng loại (cùng bậc với từng biến).

Ví dụ:$A(x,y) = 2x^2y + 3xy^2$,$B(x,y) = xy^2 + x^2y$
Kết quả:$A(x,y) - B(x,y) = (2x^2y - x^2y) + (3xy^2 - xy^2) = x^2y + 2xy^2$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Ba phép toán cơ bản với đa thức là cộng, trừ và nhân. Phép trừ đa thức thực chất cũng chính là cộng đa thức với đối của đa thức kia.
• Trừ đa thức là bước đệm quan trọng để học sinh làm quen với việc biến đổi biểu thức đại số, phân tích đa thức và giải phương trình.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tính$C(x) = (4x^3 - 3x^2 + x - 2) - (x^3 + x^2 - x + 1)$.

Giải:
Đổi dấu toàn bộ đa thức trừ:$-(x^3 + x^2 - x + 1) = -x^3 - x^2 + x - 1$
Cộng:$4x^3 - 3x^2 + x - 2 - x^3 - x^2 + x - 1$
Gộp các hạng tử cùng bậc:$(4x^3 - x^3) + (-3x^2 - x^2) + (x + x) + (-2 - 1)$
=$3x^3 - 4x^2 + 2x - 3$

Bài tập 2: Trừ $E(y) = (y^2 - 2y + 1) - (3y^2 + y - 4)$

Giải:
Đổi dấu:$-(3y^2 + y - 4) = -3y^2 - y + 4$
Cộng:$y^2 - 2y + 1 - 3y^2 - y + 4 = (y^2 - 3y^2) + (-2y - y) + (1 + 4) = -2y^2 - 3y + 5$

Bài tập 3: Tìm$F(x) = (3x^2 - 2x + 5) - (2x^2 + 4x - 3)$.

Giải:$F(x) = 3x^2 - 2x + 5 - 2x^2 - 4x + 3 = (3x^2 - 2x^2) + (-2x - 4x) + (5 + 3) = x^2 - 6x + 8$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức trừ.
• Không viết đủ các bậc biến trong mỗi đa thức (bỏ qua hệ số 0 nếu không hiện diện).
• Sai sót trong việc cộng/trừ các hệ số cùng bậc.
• Quên thứ tự sắp xếp các hạng tử (nên viết từ bậc cao đến bậc thấp để dễ đối chiếu).

Cách tránh: Hãy kiểm tra lại dấu của từng hạng tử, điền đủ hệ số 0 cho các bậc còn thiếu trước khi thực hiện phép trừ, và luôn sắp xếp các đa thức theo bậc giảm dần của biến.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ