Xác định các hệ số a, b – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 8

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình toán học lớp 8, đặc biệt ở chuyên đề hàm số bậc nhất dạng$y = ax + b$(với$a \neq 0$), việc xác định các hệ số $a$,$b$là một nội dung quan trọng giúp các bạn nhận dạng và phân tích hàm số. Hiểu rõ cách xác định$a$,$b$giúp giải các bài toán tìm hàm số đi qua hai điểm, xác định biểu thức đại số hoặc ứng dụng vào thực tế như lập biểu đồ, giải toán chuyển động, kinh tế… Ngoài ra, đây là kỹ năng nền tảng cho toán lớp 9, lớp 10 và nâng cao tư duy logic. Để giúp bạn rèn luyện thành thạo, bài viết này kèm theo 42.226+ bài tập luyện tập miễn phí.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Hệ số $a$(hệ số góc) và $b$(hệ số tự do) trong hàm số $y = ax + b$lần lượt xác định độ dốc và điểm cắt trục tung. Việc xác định$a$,$b$thường dựa trên các điều kiện cho trước như: hàm số qua hai điểm, biết$a$hoặc$b$và thêm một thông tin khác…
• Tính chất: Mỗi cặp$(a, b)$xác định duy nhất một hàm số bậc nhất. Nếu biết hai điểm phân biệt$(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$thì chỉ có một hàm số bậc nhất duy nhất đi qua hai điểm đó.

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức xác định$a$khi biết hai điểm$A(x_1, y_1)$và $B(x_2, y_2)$:
$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
- Công thức xác định$b$sau khi xác định$a$:
$b = y_1 - a x_1$
- Ghi nhớ: Khi biết một điểm và một hệ số còn lại, thay vào biểu thức$y = ax + b$ để tìm hệ số còn lại.
- Biến thể:
• Biết đồ thị song song/trùng với đồ thị khác (biết$a$, tìm$b$).
• Biết đồ thị cắt trục tung hoặc trục hoành (biết$b$hoặc$x$khi$y = 0$).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho hàm số bậc nhất$y = ax + b$ đi qua hai điểm$A(1, 3)$và $B(3, 7)$. Xác định$a$,$b$.

Bước 1: Áp dụng công thức tính$a$:
$a = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$
Bước 2: Thay$a$và tọa độ điểm$A$vào$y = ax + b$ để tìm$b$:
$3 = 2 \cdot 1 + b \implies b = 3 - 2 = 1$
Vậy,$a = 2$,$b = 1$. Hàm số là $y = 2x + 1$.

Lưu ý: Có thể dùng điểm$B$ để kiểm tra lại kết quả.

3.2 Ví dụ nâng cao

Hàm số $y = ax + b$ đi qua$C(-2, -4)$và biết$a = 1{,}5$. Tìm$b$sao cho hàm số đi qua$M(4, 6)$.

Bước 1: Sử dụng hệ số $a = 1{,}5$, thay tọa độ điểm$M$vào hàm số:
$6 = 1{,}5 \times 4 + b$
$6 = 6 + b \implies b = 0$
Vậy$a = 1{,}5$,$b = 0$. Hàm số là $y = 1{,}5x$.

Kỹ thuật giải nhanh: Nếu biết trước$a$, chỉ cần thay vào một điểm bất kỳ để tìm$b$.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Hai điểm có hoành độ bằng nhau ($x_1 = x_2$): Không xác định được$a$(bài toán vô nghiệm).
- Hai điểm thuộc cùng một trục (trục tung hoặc trục hoành): Cẩn thận khi thay số, tránh chia cho 0.
- Hàm số song song hoặc trùng với hàm số khác:$a$giống nhau, chỉ cần xác định$b$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn$a$là hệ số tự do,$b$là hệ số góc (ngược lại thực tế)
- Nhầm với công thức đường thẳng hoặc đồ thị hàm số khác như $y = ax^2 + b$(bậc hai)

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai khi ghi mẫu số (nhầm$x_1$sang$x_2$)
- Không kiểm tra lại bằng điểm thứ hai
- Cách kiểm tra: Thay kết quả $a$,$b$vào cả hai điểm xem đều đúng không

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn hãy truy cập 42.226+ bài tập Xác định các hệ số a, b miễn phí ngay tại đây! Không cần đăng ký, luyện tập mọi lúc, theo dõi kết quả để cải thiện kỹ năng giải toán từng ngày.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

-$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$;$b = y_1 - a x_1$
- Kiểm tra lại bằng cả hai điểm
- Ghi nhớ trình tự: xác định$a$trước,$b$sau
- Đọc kỹ đề, chú ý trường hợp đặc biệt
- Luyện tập đều đặn với bài tập thực tế để ghi nhớ lâu hơn