1. Giới thiệu về điều kiện xác định của phân thức

Trong chương trình Toán lớp 8, "phân thức đại số" là một khái niệm rất quan trọng và cơ bản. Khi học về phân thức, một bước không thể thiếu là xác định "điều kiện xác định của phân thức". Việc xác định điều kiện xác định giúp ta biết phân thức đó có ý nghĩa toán học với giá trị nào của biến và tránh các phép toán không hợp lệ (chẳng hạn như chia cho 0) trong khi giải toán.

2. Định nghĩa điều kiện xác định của phân thức

Phân thức đại số có dạng:

$\frac{A(x)}{B(x)}$

Trong đó $A(x)$và $B(x)$là những biểu thức đại số (thường là đa thức) với$B(x) \neq 0$.

Điều kiện xác định của một phân thức là những giá trị của biến$x$để mẫu số$B(x) \neq 0$. Nói cách khác, phân thức chỉ có nghĩa khi mẫu số khác 0.

Chúng ta ký hiệu điều kiện xác định bằng "ĐKXĐ".

3. Cách xác định điều kiện xác định - Hướng dẫn từng bước

Để xác định điều kiện xác định của một phân thức đại số, thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định mẫu số của phân thức.

Bước 2: Giải bất phương trình mẫu số khác 0, tức là $B(x) \neq 0$.

Bước 3: Kết luận dạng điều kiện xác định của phân thức.

4. Ví dụ minh họa xác định điều kiện xác định

Ví dụ 1:Xác định điều kiện xác định của phân thức$\frac{1}{x-2}$?

Giải:

- Mẫu số là $x-2$. Để phân thức xác định thì $x-2 \neq 0$.
- Suy ra$x \neq 2$.
- Vậy: ĐKXĐ là $x \neq 2$

Ví dụ 2:Tìm điều kiện xác định của$\frac{x+1}{x^2-4}$.

Giải:

- Mẫu số là $x^2-4$.
- Yêu cầu$x^2-4 \neq 0$.
-$x^2-4 = (x-2)(x+2)$, vậy$(x-2)(x+2) \neq 0$.
- Suy ra$x-2 \neq 0$và $x+2 \neq 0$, tức là $x \neq 2$,$x \neq -2$.
- Vậy: ĐKXĐ là $x \neq 2$,$x \neq -2$.

Ví dụ 3:Xác định điều kiện xác định của phân thức$\frac{x-3}{(x+1)(x-4)}$.

Giải:

- Mẫu số là $(x+1)(x-4)$cần khác 0.
- Nghĩa là $x+1 \neq 0$và $x-4 \neq 0$.
- Suy ra$x \neq -1$và $x \neq 4$.
- Do đó ĐKXĐ là $x \neq -1$,$x \neq 4$.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi xác định ĐKXĐ

- Nếu mẫu số là một đa thức bậc nhất:$ax+b$thì chỉ cần$ax+b \neq 0$.

- Nếu mẫu số là đa thức bậc hai đã phân tích thành nhân tử:$(x-a)(x-b)$thì loại trừ $x=a$và $x=b$khỏi điều kiện xác định.

- Đối với mẫu số chứa biến ở dạng phân thức phối hợp hoặc chứa căn thức, cần giải tổng quát điều kiện để mẫu số có nghĩa và không bằng 0.

- Luôn kiểm tra kỹ xem mẫu số có thể rút gọn hoặc phân tích thành nhân tử không, để tránh bỏ sót điều kiện.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Điều kiện xác định của phân thức liên quan tới:

- Điều kiện xác định của các phép tính chia số thực (chia không chia được cho 0).

- Giải phương trình, bất phương trình với mẫu số chứa biến.

- Khi làm toán rút gọn, quy đồng mẫu thức hoặc cộng, trừ, nhân, chia phân thức cũng phải luôn xác định điều kiện xác định của từng phân thức và mẫu số chung.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài 1: Xác định điều kiện xác định của phân thức$\frac{2x}{x^2 + 2x}$.

Giải:
- Mẫu số là $x^2 + 2x = x(x+2)$.
- Yêu cầu$x(x+2) \neq 0$.
- Suy ra$x \neq 0$,$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
- Đáp số: ĐKXĐ là $x \neq 0$,$x \neq -2$.

Bài 2: Cho phân thức$\frac{x+1}{x^2 - 9x + 20}$. Hãy xác định điều kiện xác định.

Giải:
-$x^2 - 9x + 20 = (x-4)(x-5)$.
- Yêu cầu$(x-4)(x-5) \neq 0$hay$x \neq 4$,$x \neq 5$.

Bài 3: Xác định điều kiện xác định của$\frac{x-1}{x^2+1}$.

Giải:
- Mẫu số $x^2+1 > 0$với mọi$x \in \mathbb{R}$. Do đó phân thức xác định với mọi$x \in \mathbb{R}$.

8. Những lỗi thường gặp và cách tránh

• * Quên điều kiện xác định khi giải toán: Khi làm bài toán liên quan đến phân thức, nhiều bạn chỉ chú ý đến phép tính mà bỏ qua ĐKXĐ. Luôn ghi nhớ: mỗi khi làm phép cộng, trừ, nhân, chia, quy đồng phân thức phải nêu ĐKXĐ.
• * Không phân tích kỹ mẫu số: Một số bạn không rút gọn hoặc phân tích đa thức mẫu số thành nhân tử, vì vậy dễ bỏ sót điều kiện (ví dụ:$x^2-4= (x-2)(x+2)$).
• * Đưa điều kiện xác định chưa chính xác: Chỉ loại trừ giá trị khiến mẫu số bằng 0, không loại trừ giá trị khiến tử số bằng 0 trừ khi có yêu cầu đặc biệt.
• * Viết điều kiện xác định không đầy đủ: Cần liệt kê rõ ràng tất cả các giá trị cần loại trừ của biến, tránh sai sót.

9. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Phân thức đại số xác định khi mẫu số khác 0.

- Để tìm điều kiện xác định: giải bất phương trình mẫu số khác 0.

- Phân tích kỹ mẫu số, nhất là khi mẫu có thể phân tích thành nhân tử.

- Luôn ghi chú điều kiện xác định trong mọi phép biến đổi liên quan phân thức đại số.

- Điều kiện xác định là một phần quan trọng, bắt buộc trong các bài toán về phân thức đại số.