1. Giới thiệu về xác định hai phân thức bằng nhau và tầm quan trọng

Trong toán học lớp 8, đặc biệt là chủ đề Phân thức đại số, việc xác định hai phân thức bằng nhau giữ vai trò quan trọng. Đây chính là nền tảng giúp học sinh thực hiện các phép biến đổi, rút gọn, so sánh hay giải các phương trình phân thức. Nếu nắm vững khái niệm này, học sinh sẽ dễ dàng giải quyết các dạng bài toán liên quan đến phân thức, đồng thời phát triển tư duy logic và kỹ năng toán học tổng quát.

2. Định nghĩa chính xác: Khi nào hai phân thức bằng nhau?

Để xác định hai phân thức bằng nhau, trước tiên hãy xét hai phân thức:

Cho hai phân thức:$A = \frac{A(x)}{B(x)}$và $C = \frac{C(x)}{D(x)}$(với$A(x), B(x), C(x), D(x)$là các đa thức,$B(x) \ne 0, D(x) \ne 0$).

Hai phân thức$A$và $C$ được gọi là bằng nhau khi:$(A(x) \cdot D(x)) = (C(x) \cdot B(x))$với mọi giá trị của$x$sao cho$B(x) \ne 0$và $D(x) \ne 0$.

Nói cách khác: Hai phân thức$\frac{A(x)}{B(x)}$và $\frac{C(x)}{D(x)}$bằng nhau nếu$A(x) \cdot D(x) = C(x) \cdot B(x)$với mọi$x$mà $B(x) \neq 0$và $D(x) \neq 0$.

3. Hướng dẫn từng bước xác định hai phân thức bằng nhau

Hãy làm theo các bước sau để kiểm tra hai phân thức có bằng nhau không:

Bước 1: Xác định hai phân thức cần so sánh dưới dạng$\frac{A(x)}{B(x)}$và $\frac{C(x)}{D(x)}$.

Bước 2: Tìm điều kiện xác định:$B(x) \neq 0$,$D(x) \neq 0$.

Bước 3: Nhân chéo và so sánh hai tích:$A(x) \cdot D(x)$và $C(x) \cdot B(x)$. Nếu$A(x) \cdot D(x) = C(x) \cdot B(x)$(trên tập xác định) thì hai phân thức bằng nhau.

Ví dụ minh họa 1:

Xét hai phân thức:$\frac{2x}{x+1}$và $\frac{4x}{2x+2}$

- Đưa$\frac{4x}{2x+2}$về dạng tối giản:

$2x + 2 = 2(x+1) \Rightarrow \frac{4x}{2x+2} = \frac{4x}{2(x+1)} = \frac{2x}{x+1}$(rút gọn cả tử và mẫu cho 2)

Như vậy:$\frac{2x}{x+1} = \frac{4x}{2x+2}$với điều kiện$x+1 \neq 0$hay$x \neq -1$.

Ví dụ minh họa 2:

Có phải$\frac{x-1}{x+2} = \frac{x+3}{x+6}$không?

Áp dụng phương pháp nhân chéo:$(x-1) \cdot (x+6)$và $(x+3) \cdot (x+2)$.

$(x-1)(x+6) = x^2 + 6x - x - 6 = x^2 + 5x - 6$

$(x+3)(x+2) = x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6$

Hai tích này khác nhau nên$\frac{x-1}{x+2}$và $\frac{x+3}{x+6}$không bằng nhau.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Chỉ so sánh khi các mẫu phân thức khác 0.
- Nếu cùng rút gọn được tử và mẫu thì hãy rút gọn trước để dễ so sánh.
- Hai phân thức chỉ được coi là bằng nhau trên những giá trị của$x$thỏa mãn điều kiện xác định chung của cả hai phân thức (tức là cả hai mẫu khác 0).

Ví dụ đặc biệt:$\frac{0}{x^2-1}$với$x^2-1 \neq 0$(tức$x \neq 1, x \neq -1$) bằng bao nhiêu? Bất kỳ phân thức nào có tử bằng 0 (và mẫu khác 0) đều bằng 0.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Việc xác định hai phân thức bằng nhau rất cần thiết khi:
+ Rút gọn phân thức
+ Quy đồng mẫu thức
+ Giải phương trình phân thức
+ So sánh giá trị các phân thức toán học
- Kiến thức này cũng liên quan đến tỉ số, phân số trong Số học.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

- Bài tập 1: Xác định hai phân thức sau có bằng nhau không?
$\frac{3x}{6x^2}$và $\frac{1}{2x}$

Giải:
$\frac{3x}{6x^2} = \frac{3x}{6x \cdot x} = \frac{1}{2x}$(rút gọn tử và mẫu cho 3x, với$x \neq 0$)
=> Hai phân thức bằng nhau với$x \neq 0$

- Bài tập 2: So sánh$\frac{2x-4}{x-2}$và $2$

Viết$2$dưới dạng phân thức:$2 = \frac{2(x-2)}{x-2}$
So sánh:\
$2x-4 = 2(x-2)$\
Như vậy$\frac{2x-4}{x-2} = 2$với$x \neq 2$.

- Bài tập 3: So sánh$\frac{x^2-4}{x-2}$và $x+2$

Ta có:$x^2-4 = (x-2)(x+2)$\
$\frac{x^2-4}{x-2} = x+2$với$x \neq 2$.

* Bài tập tự luyện:
1)$\frac{4x}{8x^2}$và $\frac{1}{2x}$
2)$\frac{x-3}{2x-6}$và $\frac{1}{2}$
3)$\frac{x+1}{x^2-1}$và $\frac{1}{x-1}$
(Học sinh tự làm, kiểm tra điều kiện xác định, rút gọn và so sánh các tích chéo)

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Không kiểm tra điều kiện xác định (quên loại giá trị khiến mẫu bằng 0)
- Không rút gọn tử và mẫu trước khi so sánh
- Nhân chéo sai hoặc nhầm lẫn khi tính toán
- Chỉ so sánh tử và mẫu từng phân thức mà không nhân chéo

8. Tóm tắt và điểm chính cần nhớ

- Hai phân thức$\frac{A(x)}{B(x)}$và $\frac{C(x)}{D(x)}$bằng nhau nếu$A(x) D(x) = C(x) B(x)$trên tập xác định ($B(x) \neq 0, D(x) \neq 0$)
- Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi so sánh
- Các bước: đưa về dạng chuẩn, rút gọn, nhân chéo, đối chiếu hai vế.
- Kiến thức này là tiền đề cho các phép biến đổi phân thức, giải phương trình phân thức và lý thuyết phân số nâng cao.