Giới thiệu về tỉ số đồng dạng trong hình học lớp 8

Trong hình học, đặc biệt ở chương trình lớp 8, khái niệm 'tỉ số đồng dạng của hai hình' đóng vai trò quan trọng trong việc nhận biết, so sánh và chứng minh các tính chất giữa các hình đồng dạng. Đây là một chủ điểm nền tảng giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối liên hệ giữa các hình và tạo nền tảng cho nhiều dạng toán quan trọng sau này như chứng minh hai tam giác đồng dạng hay ứng dụng thực tiễn như đo đạc, xây dựng, v.v.

Định nghĩa tỉ số đồng dạng của hai hình

Hai hình phẳng gọi là đồng dạng với nhau nếu tồn tại một phép biến hình bao gồm phép dời hình và phép vị tự, biến hình này biến hình thứ nhất thành hình thứ hai. Khi đó, tỉ số đồng dạng của hai hình chính là tỉ số giữa hai đại lượng tương ứng của hai hình, thường là tỉ số giữa hai đoạn thẳng tương ứng. Ký hiệu tỉ số đồng dạng là $k$.

Cụ thể, nếu hai tam giác $\triangle ABC$và $\triangle A'B'C'$ đồng dạng với nhau theo ký hiệu$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$, khi đó:

• Tỉ số các cạnh tương ứng:

$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = k$

• Tỉ số giữa hai hình đồng dạng nói chung cũng xác định tương tự: Nó là tỉ số giữa hai đoạn thẳng (hay hai kích thước) tương ứng ở hai hình đồng dạng.

Hướng dẫn xác định tỉ số đồng dạng: Các bước chi tiết kèm ví dụ

• Bước 1: Xác định các cặp cạnh/phần tương ứng

Phải chắc chắn các cặp đoạn thẳng, góc, hoặc phần tương ứng giữa hai hình đã được xác định chính xác và đúng thứ tự đồng dạng.

• Bước 2: Lấy giá trị (độ dài, diện tích, thể tích...) tương ứng

Với bài toán cơ bản lớp 8, chủ yếu là các tỉ số độ dài (cạnh).

• Bước 3: Tính tỉ số đồng dạng$k$

Lấy một cặp đoạn thẳng tương ứng nào đó, chia độ dài của cạnh ở hình này với độ dài cạnh tương ứng ở hình kia:

Ví dụ minh họa xác định tỉ số đồng dạng

Ví dụ 1: Cho hai tam giác đồng dạng $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$, biết $AB = 6\, cm$, $A'B' = 9\, cm$. Hãy xác định tỉ số đồng dạng của hai tam giác.

Giải: Ta có:

$k = \frac{AB}{A'B'} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Vậy tỉ số đồng dạng của hai tam giác là $\frac{2}{3}$.

Ví dụ 2: Hai hình chữ nhật đồng dạng có chiều dài lần lượt là $10\, cm$và $15\, cm$. Tìm tỉ số đồng dạng của chúng.

Giải:

$k = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

Vậy tỉ số đồng dạng là $\frac{2}{3}$.

Các trường hợp đặc biệt & lưu ý

Lưu ý: Phải xác định đúng cặp cạnh, không nhầm thứ tự tương ứng. Có thể các bài toán ở dạng đảo (đã biết tỉ số đồng dạng, phải tìm cạnh hoặc hình).

Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Tỉ số đồng dạng liên quan chặt chẽ với đồng dạng hình học, ba trường hợp đồng dạng tam giác (cạnh-cạnh-cạnh, cạnh-góc-cạnh, góc-góc).
- Tỉ số các cạnh kéo theo các tỉ số của diện tích, thể tích: nếu hai hình đồng dạng có tỉ số đồng dạng$k$, tỉ số diện tích là $k^2$, tỉ số thể tích là $k^3$(áp dụng cho hình không gian).

Các bài tập mẫu và lời giải chi tiết

• Bài tập 1: Hai tam giác đồng dạng có độ dài cạnh tương ứng là $5\, cm$và $8\, cm$. Hãy xác định tỉ số đồng dạng.

Giải:$k = \frac{5}{8}$

• Bài tập 2: Cho hai tam giác đồng dạng $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$, biết $AB=4\, cm$, $A'B'=10\, cm$. Biết $BC=7\, cm$. Tính $B'C'$.

Giải:$k = \frac{AB}{A'B'} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
\Rightarrow \frac{BC}{B'C'} = \frac{2}{5} \Rightarrow B'C' = \frac{5}{2} \cdot 7 = 17.5\, cm$

• Bài tập 3: Hai hình vuông có diện tích tương ứng là $9\, cm^2$và $25\, cm^2$. Tìm tỉ số đồng dạng giữa hai hình.

Giải: Gọi cạnh hình vuông đầu là $a$, cạnh hình vuông hai là $b$, có $a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$,$b^2 = 25 \Rightarrow b = 5$. Tỉ số đồng dạng$k = \frac{3}{5}$

Các lỗi thường gặp và cách tránh

Tóm tắt & các điểm chính cần nhớ