Bài 1: Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán học lớp 9, đặc biệt ở phần Hình học, hai khái niệm quan trọng liên quan đến tam giác là đường tròn ngoại tiếp tam giác và đường tròn nội tiếp tam giác. Đây không chỉ là các khái niệm cơ bản giúp rèn luyện tư duy hình học, mà còn có nhiều ứng dụng trong giải bài tập và các đề thi học sinh giỏi cũng như các kiến thức nâng cao sau này. Việc nắm vững hai khái niệm này sẽ giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn các tính chất của tam giác, rèn luyện kỹ năng dựng hình và phân tích các quan hệ hình học.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng

a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Là đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác. Tâm đường tròn ngoại tiếp gọi là tâm ngoại tiếp tam giác và bán kính là khoảng cách từ tâm này đến một đỉnh bất kỳ của tam giác.

b) Đường tròn nội tiếp tam giác:

Là đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một tam giác. Tâm đường tròn nội tiếp gọi là tâm nội tiếp tam giác và bán kính là khoảng cách từ tâm này đến một cạnh bất kỳ của tam giác.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

a) Cách dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Cho tam giác$ABC$. Để dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác này, thực hiện các bước sau:

1. Bước 1: Vẽ tam giác$ABC$.
2. Bước 2: Dựng đường trung trực của cạnh$AB$và $AC$(đường trung trực là đường vuông góc với cạnh tại trung điểm của cạnh đó).
3. Bước 3: Giao điểm$O$của hai đường trung trực trên là tâm đường tròn ngoại tiếp.
4. Bước 4: Đoạn$OA$(hoặc$OB$,$OC$ đều bằng nhau) là bán kính ngoại tiếp.

Kết luận: Vẽ đường tròn tâm$O$, bán kính$OA$sẽ đi qua ba đỉnh$A$,$B$,$C$.

b) Cách dựng đường tròn nội tiếp tam giác:

Cho tam giác$ABC$. Để dựng đường tròn nội tiếp, thực hiện các bước sau:

1. Bước 1: Vẽ tam giác$ABC$.
2. Bước 2: Dựng phân giác góc$A$và góc$B$của tam giác.
3. Bước 3: Giao điểm$I$của hai đường phân giác là tâm đường tròn nội tiếp.
4. Bước 4: Dùng thước vuông hạ từ $I$vuông góc xuống một cạnh, ví dụ $BC$, đoạn$ID$là bán kính nội tiếp.

Kết luận: Vẽ đường tròn tâm$I$, bán kính$ID$sẽ tiếp xúc với ba cạnh$AB$,$BC$,$CA$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu tam giác đều, tâm ngoại tiếp và tâm nội tiếp trùng nhau và nằm tại tâm của tam giác.
• Nếu tam giác vuông, tâm ngoại tiếp nằm tại trung điểm cạnh huyền; tâm nội tiếp vẫn nằm trong tam giác.
• Chỉ có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp duy nhất cho mỗi tam giác (trừ trường hợp suy biến).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Các khái niệm đường trung trực, phân giác, tính chất điểm cách đều, tiếp tuyến, bán kính,... đều liên quan mật thiết với hai loại đường tròn này. Đồng thời, việc xác định đường tròn ngoại tiếp hay nội tiếp là nền tảng để đi sâu vào các bài toán về tứ giác nội tiếp và đa giác đều.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho tam giác$ABC$với$AB = 5cm$,$AC = 6cm$,$BC = 7cm$. Hãy dựng và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Lời giải:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác$ABC$ được xác định bởi công thức:

Trong đó $a = BC = 7$,$b = AC = 6$,$c = AB = 5$;$S$là diện tích tam giác. Áp dụng công thức Heron:

Với$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{7 + 6 + 5}{2} = 9$.

$S = \sqrt{9(9-7)(9-6)(9-5)} = \sqrt{9 \times 2 \times 3 \times 4} = \sqrt{216} \approx 14,7$ (cm$^2$)

Vậy:

Bài tập 2: Cho tam giác$ABC$với$AB = 5cm$,$AC = 6cm$,$BC = 7cm$. Hãy dựng và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Lời giải:

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác$ABC$ được tính bởi:

$S = 14,7$,$p = 9$. Do đó:

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Dựng nhầm đường trung tuyến thay vì trung trực/phân giác.
• Nhận diện sai tâm đường tròn ngoại tiếp/nội tiếp do vẽ chưa chính xác.
• Không xác định đúng bán kính khi tính toán, quên áp dụng công thức diện tích tam giác.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Mỗi tam giác chỉ có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp.
• Tâm ngoại tiếp là giao điểm ba đường trung trực; tâm nội tiếp là giao điểm ba đường phân giác.
• Áp dụng công thức với bán kính ngoại tiếp:$R = \frac{abc}{4S}$và nội tiếp:$r = \frac{S}{p}$.

Việc nắm chắc các kiến thức trên sẽ giúp các em vận dụng linh hoạt vào giải các bài toán hình học khác nhau, nhất là các bài liên quan đến tam giác, tứ giác nội tiếp và đa giác đều.