Bài 1: Không gian mẫu và biến cố – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

I. Giới thiệu về "không gian mẫu" và "biến cố"

Trong chương trình toán lớp 9, chủ đề về "Không gian mẫu và biến cố" là bài học mở đầu cho phần xác suất. Đây là bước khởi đầu vô cùng quan trọng giúp học sinh làm quen dần với tư duy xác suất, kỹ năng tư duy logic và phân tích các sự việc ngẫu nhiên trong toán học cũng như trong đời sống thực tiễn. Việc hiểu rõ hai khái niệm cơ bản này giúp các em tự tin giải quyết các bài toán xác suất từ cơ bản đến nâng cao, đồng thời tăng khả năng ứng dụng toán học trong nhiều lĩnh vực.

II. Định nghĩa chính xác về không gian mẫu và biến cố

1. Không gian mẫu (ký hiệu: Ω hoặc S): Là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên. Mỗi phần tử của không gian mẫu được gọi là một "kết quả hay phần tử" (tiếng Anh: outcome).

2. Biến cố: Là một tập con của không gian mẫu, gồm một hoặc nhiều kết quả của phép thử thỏa mãn một điều kiện nhất định. Nếu kết quả xảy ra nằm trong biến cố đó, ta nói biến cố đã xảy ra.

Lưu ý: Một biến cố có thể là tập rỗng, một phần tử, nhiều phần tử hoặc trùng với không gian mẫu.

III. Giải thích chi tiết với ví dụ minh họa

Để học sinh hiểu rõ hơn, chúng ta cùng xét các ví dụ cụ thể:

Ví dụ 1: Tung một đồng xu một lần

Phép thử: Tung đồng xu và quan sát mặt hiện ra.

Không gian mẫu:$\Omega = \{S, N\}$, với S: mặt Sấp, N: mặt Ngửa.

Biến cố A: "Xu xuất hiện mặt Sấp". Khi đó,$A = \{S\}$.

Biến cố B: "Xu xuất hiện mặt Ngửa". Khi đó,$B = \{N\}$.

Biến cố C: "Xu xuất hiện mặt Sấp hoặc Ngửa" (chắc chắn).$C = \{S, N\} = \Omega$.

Biến cố D: "Xu xuất hiện mặt cạnh" (không thể xảy ra theo lý thuyết).$D = \emptyset$– biến cố không thể.

Ví dụ 2: Tung một con xúc xắc 6 mặt

Không gian mẫu:$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Biến cố E: "Ra số chẵn"$E = \{2, 4, 6\}$.

Biến cố F: "Ra số lớn hơn 4"$F = \{5, 6\}$.

Biến cố G: "Ra số nhỏ hơn 7"$G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \Omega$(biến cố chắc chắn).

IV. Các trường hợp đặc biệt & lưu ý áp dụng

1. Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn xảy ra – tập con trùng với không gian mẫu (ví dụ, "tung xúc xắc ra số tự nhiên từ 1 đến 6").

2. Biến cố không thể: Biến cố không bao giờ xảy ra – tập con rỗng (ví dụ, "tung xúc xắc ra số 7").

3. Hai biến cố đồng thời: Khi hai biến cố có thể xảy ra cùng lúc, ta gọi là “hai biến cố đồng thời xảy ra”. Xét phép giao của hai tập hợp.

Lưu ý: Khi xác định không gian mẫu, cần liệt kê đầy đủ mọi khả năng có thể xảy ra – không để sót hoặc trùng lặp.

V. Mối liên hệ với các kiến thức toán học khác

1. Lý thuyết tập hợp: Không gian mẫu và biến cố đều được mô tả bằng ngôn ngữ tập hợp. Biến cố = tập con của không gian mẫu.

2. Tư duy logic: Việc phân tích các khả năng xảy ra và kết hợp các biến cố liên quan đến phép toán giao, hợp, hiệu của các tập hợp.

3. Ứng dụng trong các bài toán xác suất: Việc xác định đúng không gian mẫu và các biến cố là nền tảng để tính xác suất.

VI. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tung 1 đồng xu. Hãy xác định không gian mẫu và 3 biến cố: "xu ra mặt Sấp", "xu ra mặt Ngửa", "xu ra mặt Sấp hoặc Ngửa".

Giải:

Không gian mẫu:$\Omega = \{S, N\}$

Biến cố A: "Xu ra mặt Sấp" =$\{S\}$

Biến cố B: "Xu ra mặt Ngửa" =$\{N\}$

Biến cố C: "Xu ra mặt Sấp hoặc Ngửa" =$\{S, N\} = \Omega$(biến cố chắc chắn)

Bài tập 2: Tung 2 đồng xu. Xác định không gian mẫu và các biến cố sau: (a) Cả hai đều xuất hiện Sấp; (b) Chỉ có một đồng xu ra Sấp.

Giải:

Không gian mẫu khi tung 2 đồng xu là:

$\Omega = \{(S, S), (S, N), (N, S), (N, N) \}$

(a) Biến cố "cả hai đều xuất hiện Sấp":$A = \{(S, S)\}$

(b) Biến cố "chỉ có một đồng xu ra Sấp":$B = \{(S, N), (N, S)\}$

Lưu ý: Dòng đầu của mỗi phần tử trong không gian mẫu thể hiện kết quả của đồng xu thứ nhất và dòng sau là đồng xu thứ hai.

Bài tập 3: Một hộp có 3 viên bi: 1 đỏ, 1 xanh, 1 vàng. Lấy ngẫu nhiên 1 viên. Hãy xác định không gian mẫu và biến cố "lấy được viên bi không phải màu đỏ".

Giải:

Không gian mẫu:$\Omega = \{Đ, X, V\}$.

Biến cố A: "Lấy được viên bi không phải đỏ":$A = \{X, V\}$

VII. Các lỗi thường gặp & cách tránh

Để tránh sai sót, cần ghi chú rõ ràng ký hiệu, kiểm tra lại đủ trường hợp, dùng ngôn ngữ tập hợp khi biểu diễn các biến cố.

VIII. Tóm tắt & các điểm chính cần nhớ

Nắm vững nội dung này là bước nền quan trọng cho toàn bộ chương xác suất, giúp giải quyết tốt các bài toán thực tế cũng như những bài nâng cao sau này.