Bài 3: Biểu diễn số liệu ghép nhóm – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

Giới thiệu về biểu diễn số liệu ghép nhóm

Trong chương trình Toán 9, học sinh thường phải làm việc với các tập số liệu lớn. Để thuận tiện cho việc thống kê, phân tích và so sánh, ta cần biết cách "biểu diễn số liệu ghép nhóm". Đây là một kiến thức quan trọng trong thống kê giúp bạn tóm tắt số liệu phức tạp dưới dạng ngắn gọn, dễ quan sát bằng các bảng hay biểu đồ. Kỹ năng này rất quan trọng không chỉ trong học tập mà còn trong nghiên cứu thực tiễn, biết cách xử lý và đọc các bảng thống kê là nền tảng để học tốt các phần kiến thức về xác suất, thống kê ở các lớp cao hơn.

Định nghĩa biểu diễn số liệu ghép nhóm

Biểu diễn số liệu ghép nhóm là cách sắp xếp các số liệu (dữ liệu) thành những nhóm (khoảng), đếm số phần tử (tần số) xuất hiện trong mỗi nhóm, sau đó trình bày tập hợp số liệu bằng một bảng tần số ghép nhóm. Thay vì liệt kê từng giá trị cụ thể, ta gộp các giá trị liên tiếp thành một nhóm theo các khoảng nhất định. Mỗi nhóm như vậy gọi là một lớp hay một khoảng, giúp tổng hợp dữ liệu một cách ngắn gọn và dễ nhìn hơn.

Các bước biểu diễn số liệu ghép nhóm với ví dụ minh họa

Chúng ta cùng tìm hiểu từng bước cụ thể với một ví dụ thực tế để dễ hình dung:

Bước 1: Thu thập và sắp xếp số liệu

Ví dụ: Sau một bài kiểm tra Toán, điểm số của 30 học sinh như sau:

2, 7, 5, 6, 6, 8, 7, 9, 6, 5, 3, 4, 10, 8, 8, 7, 7, 5, 6, 7, 2, 3, 8, 9, 7, 6, 8, 5, 6, 9

Trước tiên, ta nên sắp xếp số liệu theo thứ tự tăng dần:

2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10

Bước 2: Phân chia các nhóm (lớp – khoảng số liệu)

Ta xác định miền giá trị từ $2$(nhỏ nhất) đến$10$(lớn nhất).
Có thể chia các khoảng như sau:
- Từ $2$ đến dưới$4$
- Từ $4$ đến dưới$6$
- Từ $6$ đến dưới$8$
- Từ $8$ đến dưới$10$
- Từ $10$ đến dưới$12$(mặc dù chỉ có điểm$10$)

Số lượng nhóm tùy vào mục đích biểu diễn và yêu cầu bài toán, song thường nên từ 5–7 nhóm để dễ quan sát và tổng kết.

Bước 3: Đếm tần số ở mỗi nhóm

Ta kiểm tra từng điểm số, gộp chúng vào nhóm phù hợp và đếm số giá trị (tần số) trong từng nhóm.

Giải thích cụ thể:
-$2, 2, 3, 3$thuộc khoảng$2$ đến dưới$4$.
-$4, 5, 5, 5, 5$thuộc khoảng$4$ đến dưới$6$.
-$6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7$thuộc khoảng$6$ đến dưới$8$.
-$8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9$thuộc khoảng$8$ đến dưới$10$.
-$10$thuộc khoảng$10$ đến dưới$12$.

Bước 4: Lập bảng tần số ghép nhóm

Bảng tần số ghép nhóm sẽ trình bày như sau:

Bước 5: Vẽ biểu đồ tần số ghép nhóm

Từ bảng trên, ta có thể vẽ biểu đồ cột (hoặc biểu đồ đoạn thẳng) để so sánh các nhóm dễ dàng. Trục hoành là các khoảng điểm, trục tung là số học sinh tương ứng từng khoảng.

Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi biểu diễn số liệu ghép nhóm

• Nên chọn các khoảng (lớp) liên tiếp, không chồng chéo, độ rộng các khoảng bằng nhau giúp so sánh thuận lợi hơn.
• Tổng tần số tất cả các nhóm phải bằng tổng số quan sát ban đầu.
• Khi số liệu có nhiều giá trị giống nhau, cần kiểm tra cẩn thận để tránh bỏ sót hoặc tính nhầm.

Mối liên hệ với các khái niệm thống kê khác

Kỹ năng biểu diễn số liệu ghép nhóm là tiền đề để học các khái niệm như số trung bình cộng ghép nhóm, trung vị và mốt trong thống kê. Ngoài ra, khi làm việc với dữ liệu lớn, biểu diễn ghép nhóm giúp tính toán nhanh hơn và thuận tiện hơn rất nhiều.

Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập mẫu 1:
Cho dãy số liệu sau (điểm kiểm tra của 20 học sinh): 3, 5, 4, 6, 7, 3, 8, 5, 6, 4, 7, 8, 6, 6, 5, 4, 7, 4, 8, 6

Yêu cầu: Biểu diễn dãy số liệu trên bằng bảng tần số ghép nhóm với các khoảng như sau: 3 - dưới 5, 5 - dưới 7, 7 - dưới 9.

Giải:
- Sắp xếp số liệu: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8
- Nhóm 3 - dưới 5: 3, 3, 4, 4, 4, 4 → có 6 bạn
- Nhóm 5 - dưới 7: 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6 → có 8 bạn
- Nhóm 7 - dưới 9: 7, 7, 7, 8, 8, 8 → có 6 bạn

Bảng tần số ghép nhóm:

3 - dưới 5 | 6 học sinh
5 - dưới 7 | 8 học sinh
7 - dưới 9 | 6 học sinh

Bài tập mẫu 2:
Cho dãy số liệu: 12, 15, 16, 18, 17, 10, 11, 14, 17, 19, 12, 16, 13, 15, 20
Chia thành ba khoảng: 10 - 14, 14 - 17, 17 - 21.
- 10 - 14: 10, 11, 12, 12, 13, 14 → 6 giá trị
- 14 - 17: 15, 15, 16, 16 → 4 giá trị
- 17 - 21: 17, 17, 18, 19, 20 → 5 giá trị
Bảng tần số:
10 - 14 | 6
14 - 17 | 4
17 - 21 | 5

Các lỗi thường gặp và cách phòng tránh

• Không chú ý khoảng biên (ví dụ: số 5 xếp vào nhóm nào: 3 - dưới 5 hay 5 - dưới 7?), cần xác định rõ định nghĩa khoảng (thường bao gồm giới hạn dưới, không bao gồm giới hạn trên).
• Tổng số lượng sau khi ghép nhóm không khớp với số liệu ban đầu.
• Chọn quá nhiều hoặc quá ít nhóm khiến bảng trở nên phức tạp hoặc không ý nghĩa.
• Nhầm lẫn khi xếp giá trị vào nhóm (do bỏ sót hoặc chồng chéo khoảng).

Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Biểu diễn số liệu ghép nhóm giúp tóm tắt, hệ thống dữ liệu lớn bằng bảng hoặc biểu đồ.
• Các bước: Sắp xếp số liệu → Chia nhóm → Đếm tần số → Lập bảng → Vẽ biểu đồ (nếu cần).
• Chọn khoảng nhóm hợp lý và thống nhất cách biên.
• Kiểm tra tổng tần số sau ghép nhóm phải đúng bằng tổng số liệu ban đầu.
• Biểu diễn số liệu ghép nhóm là nền tảng cho các khái niệm trung bình, trung vị, mốt,… ở các bài học tiếp theo.