Bài 3: Đa giác đều và phép quay – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về đa giác đều và phép quay trong Toán 9

Trong chương trình Toán 9, khái niệm đa giác đều và phép quay là một phần kiến thức quan trọng trong chủ đề Hình học. Bài học này không chỉ giúp các em nhận biết được những đa giác đều quen thuộc như hình vuông, lục giác đều… mà còn vận dụng phép quay để giải các bài toán xác định vị trí, đối xứng, cũng như ứng dụng vào thực tiễn (xây dựng, thiết kế, nghệ thuật...). Thành thạo kiến thức này, học sinh sẽ dễ dàng hơn khi tiếp cận các kiến thức nâng cao ở bậc THPT.

2. Định nghĩa chính xác về đa giác đều và phép quay

2.1. Đa giác đều là gì?

Đa giác đều là một đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau. Nói cách khác, đó là hình nhiều cạnh mà mỗi cạnh đều nhau và mỗi góc trong đều nhau.

Ký hiệu: Nếu đa giác đều có $n$cạnh, người ta gọi nó là "đa giác đều$n$cạnh" hoặc "$n$-giác đều".

2.2. Phép quay là gì?

Phép quay là một phép biến hình trong mặt phẳng: với mỗi điểm$A$khác điểm$O$, ta xác định điểm$A'$sao cho:

-$OA = OA'$;

- Số đo góc$AOA'$bằng một góc xác định$heta$(góc quay).

Điểm$O$gọi là tâm quay, góc$heta$gọi là góc quay. Nếu quay theo chiều kim đồng hồ thì $heta < 0$, quay ngược chiều kim đồng hồ thì $heta > 0$.

3. Giải thích và ví dụ minh họa từng bước

3.1. Tính các yếu tố cơ bản của đa giác đều

Cho đa giác đều$n$cạnh nội tiếp đường tròn bán kính$R$:

+ Độ dài cạnh$a$xác định bởi:

$a = 2R \sin \left(\frac{\pi}{n}\right)$

+ Góc ở tâm là:

+ Góc trong mỗi đỉnh là:

+ Tổng các góc trong là:

Ví dụ: Lục giác đều ($n=6$) nội tiếp đường tròn bán kính$R$:

- Cạnh $a = 2R\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$

- Góc ở tâm$= \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$

- Góc trong$= \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$

3.2. Ứng dụng phép quay vào đa giác đều

Mỗi phép quay tâm$O$với góc quay$\theta = \frac{360^\circ}{n}$sẽ biến mỗi đỉnh của đa giác đều thành đỉnh kế tiếp. Đây là lý do các đa giác đều có tính đối xứng quay mạnh mẽ.

Ví dụ, lục giác đều quay quanh tâm một góc$60^\circ$thì mỗi đỉnh chuyển đúng vào vị trí của đỉnh liền kề.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Đa giác đều có thể là tam giác đều ($n=3$), hình vuông ($n=4$), ngũ giác đều ($n=5$)... Những trường hợp này có thể nhận biết trực tiếp dựa trên các tính chất cạnh và góc.

- Nếu đa giác đều nội tiếp đường tròn thì mọi đỉnh đều nằm trên đường tròn.

- Phép quay với góc là bội của$\frac{360^\circ}{n}$sẽ đưa đa giác về đúng vị trí ban đầu hoặc vị trí trùng khít với đa giác ban đầu.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

$2\pi/n$ , cạnh đáy s=2R\sin(\pi/n) và áp-tô-mét a=R\cos(\pi/n) " title="Hình minh họa: Minh họa đa giác đều n cạnh (n=7) nội tiếp đường tròn bán kính R=1, thể hiện tam giác trung tâm OA₁A₂ với góc trung tâm $2\pi/n$ , cạnh đáy s=2R\sin(\pi/n) và áp-tô-mét a=R\cos(\pi/n) " class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

$_1$ A $_2$ …A $_6$ nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R, với đoạn bán kính OA $_1$ = R và cạnh A $_1$ A $_2$ = s" title="Hình minh họa: Minh họa lục giác đều A $_1$ A $_2$ …A $_6$ nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R, với đoạn bán kính OA $_1$ = R và cạnh A $_1$ A $_2$ = s" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

- Đa giác đều có liên hệ chặt chẽ với đường tròn, tứ giác nội tiếp, các phép đối xứng trục, đối xứng tâm và phép tịnh tiến.

- Những phép biến hình (phép đối xứng, phép quay) là nền tảng quan trọng cho kiến thức hình học ở các lớp sau.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1. Cho hình lục giác đều nội tiếp đường tròn tâm$O$, bán kính$R$. Tính độ dài cạnh.

Giải: Lục giác đều có 6 cạnh, góc ở tâm là $60^\circ$.

$a = 2R \sin \left(\frac{180^\circ}{6}\right) = 2R \sin 30^\circ = 2R \cdot 0.5 = R$

Bài 2. Với phép quay tâm$O$, góc$90^\circ$, chứng minh rằng hình vuông biến thành chính nó.

Giải: Khi quay góc$90^\circ$, mỗi đỉnh của hình vuông dịch chuyển đến vị trí của đỉnh tiếp theo. Sau phép quay, bốn đỉnh mới sắp xếp trùng khớp với vị trí bốn đỉnh ban đầu của hình vuông. Như vậy, hình vuông biến thành chính nó.

Bài 3. Tìm số phép quay (khác phép đồng nhất) để đa giác đều$n$cạnh biến thành chính nó.

Giải: Với đa giác đều$n$cạnh, phép quay tâm$O$với góc$k \cdot \frac{360^\circ}{n}$($k = 1, 2,..., n-1$) sẽ biến đa giác thành chính nó. Vậy có tổng cộng$n-1$phép quay khác phép đồng nhất.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn giữa góc ở tâm và góc trong đa giác đều. Hãy nhớ:

- Nhầm chiều quay: Khi làm bài, chú ý phân biệt quay cùng hoặc ngược chiều kim đồng hồ.

- Đếm nhầm số phép quay: Có $n$phép quay (kể cả phép đồng nhất), các phép quay khác phép đồng nhất là $n-1$.

8. Tóm tắt và điểm chính cần nhớ