Bài 3. Góc ở tâm, góc nội tiếp – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về góc ở tâm, góc nội tiếp và tầm quan trọng

Trong chương trình toán học lớp 9, học sinh sẽ gặp rất nhiều bài tập liên quan đến đường tròn. Một trong các khái niệm quan trọng là “góc ở tâm” và “góc nội tiếp” – hai khái niệm nền tảng giúp phát triển các kỹ năng giải các bài toán hình học về đường tròn. Hiểu rõ về góc ở tâm và góc nội tiếp sẽ giúp các em dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan trong bài kiểm tra, kỳ thi cũng như ứng dụng vào thực tế. Kiến thức này không chỉ quan trọng cho việc học Toán 9 mà còn là nền tảng cho các lớp học cao hơn.

2. Định nghĩa chính xác góc ở tâm và góc nội tiếp

• Góc ở tâm: Là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn và hai cạnh là hai bán kính cắt đường tròn tại hai điểm khác nhau.

• Góc nội tiếp: Là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh là các dây cung cắt nhau tại đỉnh, đồng thời mỗi cạnh chứa một điểm thuộc đường tròn khác đỉnh.

Trong một đường tròn (O) với góc ở tâm $\angle AOB$và góc nội tiếp$\angle ACB$ cùng chắn một cung AB thì:

• $\angle AOB$: Góc ở tâm chắn cung AB.
• $\angle ACB$: Góc nội tiếp chắn cung AB.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Xét đường tròn (O), các điểm A, B, C nằm trên đường tròn và không trùng nhau:

+ Vẽ các đoạn OA và OB (bán kính), ta được góc ở tâm $\angle AOB$.

+ Vẽ các đoạn CA và CB, ta được góc nội tiếp $\angle ACB$, đỉnh C nằm trên đường tròn.

Hệ thức cơ bản:

Nếu góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì:

\[ \text{Số đo góc ở tâm} = 2 \times \text{Số đo góc nội tiếp} \]
Tức là:
\[ \angle AOB = 2 \angle ACB \]

Ví dụ 1:

Cho đường tròn (O) với góc ở tâm $\angle AOB = 80^\circ$. Tính số đo góc nội tiếp $\angle ACB$ cùng chắn cung AB.

Giải:
Số đo góc nội tiếp là:
$\angle ACB = \frac{1}{2} \t \times 80^\circ = 40^\circ$

Ví dụ 2:

Cho đường tròn (O), góc nội tiếp $\angle ACB = 35^\circ$. Tính góc ở tâm $\angle AOB$ chắn cung AB.

Giải:
Số đo góc ở tâm là:
$\angle AOB = 2 \times 35^\circ = 70^\circ$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

a) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (góc nội tiếp chắn nửa cung):Khi ấy, góc ở tâm là $180^\circ$, nên góc nội tiếp là $90^\circ$. Đây chính làgóc vuông nội tiếp- điểm đặc biệt quan trọng thường gặp trong bài tập và đề thi.

b) Hai góc nội tiếp bằng nhau cùng chắn một cung: Nếu hai góc nội tiếp cùng chắn một cung (hoặc hai cung bằng nhau), chúng sẽ có số đo bằng nhau.

c) Tổng hai góc nội tiếp không cùng chắn một cung: Tổng số đo hai góc nội tiếp cùng nhìn hai cung không giao nhau sẽ bằng số đo góc ở tâm chắn hai cung đó.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Góc ở tâm và góc nội tiếp liên quan trực tiếp đến các khái niệm như cung tròn, tiếp tuyến, tứ giác nội tiếp, tam giác nội tiếp đường tròn, cũng như ứng dụng trong chứng minh đồng quy, đối xứng hình học của các điểm trên đường tròn. Đặc biệt, chúng giúp chứng minh nhiều định lý quan trọng trong hình học Euclid và xử lý các bài toán về phương tích của điểm đối với đường tròn.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho đường tròn (O), góc ở tâm $\angle AOB = 120^\circ$. Tính số đo góc nội tiếp cùng chắn cung AB.

Lời giải:

$\angle ACB = \frac{1}{2} \t \times 120^\circ = 60^\circ$

Bài tập 2: Cho đường tròn (O), góc nội tiếp $\angle APB = 45^\circ$. Tính góc ở tâm cùng chắn cung AB.

Lời giải:

$\angle AOB = 2 \times 45^\circ = 90^\circ$

Bài tập 3: Trên đường tròn (O), các điểm kế tiếp A, B, C, D theo chiều kim đồng hồ. Tính tổng số đo các góc nội tiếp $\angle ADC$và $\angle ABC$.

Lời giải:
Hai góc này lần lượt nhìn hai cung BC và DA không giao nhau, nên tổng hai góc nội tiếp bằng số đo góc ở tâm chắn cung BCDA (gần như toàn bộ đường tròn, trừ hai điểm A và D trùng nhau).

$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

Để tránh các lỗi trên, các em hãy vẽ hình cẩn thận, xác định kỹ điểm, đường thẳng, tên góc, và luôn kiểm tra lại phép nhân/chia hai lần.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

Góc ở tâm, góc nội tiếp không chỉ giúp giải bài tập mà còn là nền tảng cho các kiến thức hình học về đường tròn cao hơn. Học vững khái niệm này sẽ giúp các em tự tin và thành công hơn trong các kỳ kiểm tra và thi cử liên quan đến hình học.