Giải thích chi tiết Bài 3. Góc ở tâm, góc nội tiếp cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán 9, Bài 3. Góc ở tâm, góc nội tiếp là bài học quan trọng trong phần Hình học: Đường tròn, giúp các em hiểu mối quan hệ giữa góc xác định bởi hai bán kính của đường tròn và góc nội tiếp chắn cùng cung.

Bài học này giới thiệu hai khái niệm cơ bản: góc ở tâm và góc nội tiếp, là nền tảng để giải các bài toán liên quan đến cung và góc trong đường tròn.

Việc nắm vững khái niệm giúp các em giải bài tập chính xác, phát triển tư duy hình học và chuẩn bị tốt cho các bài toán nâng cao.

Ứng dụng thực tế: từ thiết kế bánh răng cơ khí, kiến trúc vòm bán cầu đến các bài toán tọa độ, góc ở tâm và góc nội tiếp đều xuất hiện thường xuyên.

Cơ hội luyện tập miễn phí với 100+ bài tập.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa và khái niệm quan trọng:

- Góc ở tâm: Cho đường tròn tâm$O$và hai điểm$A,B$trên đường tròn. Góc$\angle AOB$gọi là góc ở tâm chắn cung$\widehat{AB}$.

- Góc nội tiếp: Cho đường tròn tâm$O$và hai điểm$A,B$trên đường tròn. Từ một điểm$C$bất kỳ trên đường tròn (không trùng$A,B,O$), góc$\angle ACB$gọi là góc nội tiếp chắn cung$\widehat{AB}$.

Các định lý và tính chất chính:

- Định lý cơ bản: Với cùng cung$\widehat{AB}$, góc ở tâm và góc nội tiếp có quan hệ $\angle AOB = 2\angle ACB$.

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (cung$180°$) luôn bằng$90°$(Định lý Thales).

Điều kiện áp dụng và giới hạn:

- Quan hệ trên chỉ đúng khi cả góc ở tâm và góc nội tiếp chắn cùng cung nhỏ (cung chắn <$180°$).

2.2 Công thức và quy tắc

Danh sách công thức cần thuộc lòng:

-$\angle AOB = m(\widehat{AB})$.

-$\angle ACB = \frac{1}{2}m(\widehat{AB})$.

- Kết hợp:$\angle AOB = 2\angle ACB$.

Cách ghi nhớ công thức hiệu quả:

- Hãy nhớ: Góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp.

Điều kiện sử dụng từng công thức:

- Công thức áp dụng khi các điểm$A,B,C$cùng nằm trên một đường tròn và $C$không trùng$A,B,O$.

Các biến thể của công thức:

- Với cung lớn (>$180°$), ta dùng cung bù:$m(\widehat{AB}) + m(\widehat{BA}) = 360°$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Cho đường tròn tâm$O$và các điểm$A,B,C$nằm trên đường tròn sao cho$\angle AOB = 80°$. Tính$\angle ACB$.

Lời giải:

Bước 1: Nhận thấy$\angle ACB$là góc nội tiếp chắn cung$\widehat{AB}$.

Bước 2: Áp dụng công thức$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} \times 80° = 40°$.

Vậy$\angle ACB = 40°$.

Lưu ý: Điểm$C$có thể là bất kỳ trên cung nhỏ $AB$, kết quả không đổi.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Cho đường tròn tâm$O$với ba điểm$A,B,C$theo thứ tự trên đường tròn sao cho$m(\widehat{AB}) = 100°$và $m(\widehat{BC}) = 80°$. Hãy tính:

a)$\angle AOC$; b)$\angle ABC$; c) Gọi$D$là điểm bất kỳ trên cung nhỏ $AC$(không chứa$B$). Tính$\angle ADC$.

Lời giải:

a)$m(\widehat{AC}) = m(\widehat{AB}) + m(\widehat{BC}) = 180°$, nên$\angle AOC = 180°$.

b)$\angle ABC = \frac{1}{2}m(\widehat{AC}) = \frac{1}{2} \times 180° = 90°$.

c) Tương tự,$\angle ADC = \frac{1}{2}m(\widehat{AC}) = 90°$.

Nhận xét: Bất kỳ điểm trên nửa đường tròn chắn bởi dây cung$AC$ đều tạo góc vuông.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (Định lý Thales): luôn bằng$90°$.

- Khi xét cung lớn (>$180°$), ta dùng cung bù:$m(\widehat{AB}) + m(\widehat{BA}) = 360°$.

- Góc ở tâm có thể là góc lõm (số đo >$180°$) khi xét cung lớn.

- Mối liên hệ với góc giữa tiếp tuyến và dây cung: góc giữa tiếp tuyến tại$A$và dây cung$AB$bằng góc nội tiếp chắn cung đối diện.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn giữa góc ở tâm và góc nội tiếp: đỉnh ở tâm$O$hay trên đường tròn.

- Nhầm cung lớn và cung nhỏ dẫn đến sai số.

- Cách tránh: Luôn vẽ hình, đánh dấu tâm và xác định cung chắn rõ ràng.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên nhân đôi hoặc chia đôi khi áp dụng công thức.

- Nhầm đơn vị độ và radian (nếu áp dụng vào chứng minh nâng cao).

- Phương pháp kiểm tra: Tính tổng các cung, tổng góc tam giác hoặc kiểm tra tính nội tiếp của tứ giác.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập hệ thống để giải 100+ bài tập Bài 3. Góc ở tâm, góc nội tiếp miễn phí, không cần đăng ký, bắt đầu ngay và theo dõi tiến độ học tập.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Góc ở tâm:$\angle AOB = m(\widehat{AB})$; góc nội tiếp:$\angle ACB = \frac{1}{2}m(\widehat{AB})$; kết luận$\angle AOB = 2\angle ACB$.

- Định lý Thales: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng$90°$.

- Điều kiện áp dụng: các điểm cùng nằm trên đường tròn, cung nhỏ <$180°$.

- Checklist trước khi làm bài: vẽ hình, xác định tâm, xác định cung, áp dụng đúng công thức.

- Kế hoạch ôn tập: kết hợp lý thuyết với 100+ bài tập, giải các ví dụ cơ bản và nâng cao.