Blog

Cách giải Bài 2. Tiếp tuyến của đường tròn – Chiến lược và bài tập miễn phí

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài 2. Tiếp tuyến của đường tròn là dạng bài quan trọng trong chương trình hình học lớp 9.

Đặc điểm của dạng bài 'Tiếp tuyến của đường tròn':

- Liên quan đến tính chất tiếp tuyến: tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.

- Yêu cầu tìm phương trình tiếp tuyến, tọa độ điểm tiếp xúc hoặc xác định tiếp tuyến song song/vuông góc với đường thẳng đã cho.

- Kết hợp kiến thức về phương trình đường tròn, đường thẳng và quan hệ vuông góc.

Tần suất xuất hiện trong đề thi và bài kiểm tra: dạng bài này xuất hiện rất thường xuyên trong đề kiểm tra cuối kỳ, khảo sát chất lượng và đề thi tuyển sinh lớp 10.

Tầm quan trọng trong chương trình học lớp 9: giúp học sinh củng cố kiến thức về đường tròn, luyện kỹ năng vận dụng định lý hình học và chuẩn bị cho cấp trung học phổ thông.

Cơ hội luyện tập miễn phí với 50+ bài tập trên nền tảng trực tuyến, không cần đăng ký, tiếp cận tài nguyên chất lượng ngay lập tức.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

Các dấu hiệu đặc trưng trong đề bài:

- Từ 'tiếp tuyến', 'ứng dụng tính chất tiếp tuyến', 'phương trình tiếp tuyến', 'điểm tiếp xúc'.

- Xuất hiện các yếu tố: đường tròn, đường thẳng, bán kính, vuông góc.

Từ khóa quan trọng cần chú ý: 'vuông góc', 'bán kính', 'điểm tiếp xúc', 'khoảng cách'.

Cách phân biệt với các dạng bài khác: tập trung vào tính chất tiếp tuyến và mối quan hệ vuông góc với bán kính chứ không chỉ tìm giao điểm thông thường.

2.2 Kiến thức cần thiết

Định lý cơ bản: Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.

Với đường tròn (xx0)2+(yy0)2=r2(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2 và điểm tiếp xúc (x1,y1)(x_1,y_1) trên đường tròn, ta có (x1x0)2+(y1y0)2=r2(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2=r^2.

Phương trình tiếp tuyến tại (x1,y1)(x_1,y_1):

(x1x0)(xx0)+(y1y0)(yy0)=r2(x_1-x_0)(x-x_0)+(y_1-y_0)(y-y_0)=r^2.

Với đường tròn tâm O(0,0)O(0,0): x2+y2=r2x^2+y^2=r^2, phương trình tiếp tuyến tại(x1,y1)(x_1,y_1):xx1+yy1=r2xx_1+yy_1=r^2

Kỹ năng tính toán: xác định hệ số góc, phương trình đường thẳng, công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: d=Ax0+By0+CA2+B2d=\tfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Mối liên hệ với chủ đề khác: hệ thức lượng trong tam giác vuông, tọa độ trong mặt phẳng, phương pháp đạo hàm trong tính hệ số góc.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

- Xác định tâmOOvà bán kínhrrcủa đường tròn.

- Kiểm tra yêu cầu: tìm điểm tiếp xúc, phương trình tiếp tuyến hay tiếp tuyến đi qua điểm cho trước.

- Ghi lại dữ liệu đã cho và điều kiện cần tìm.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

- Chọn công thức tiếp tuyến phù hợp (theo điểm tiếp xúc hoặc theo hệ số góc).

- Quy trình tính toán: xác địnhmmnếu biết tiếp tuyến có hình thứcy=mx+by=mx+b, hoặc dùng điều kiện khoảng cách.

- Dự đoán kết quả sơ bộ để kiểm tra tính hợp lý.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

- Áp dụng công thức, biểu thức đã chọn vào tính toán.

- Giải hệ phương trình nếu cần tìm điểm tiếp xúc.

- Kiểm tra điều kiện vuông góc hoặc khoảng cách chính xác bằngrr.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

- Dựa vào định lý: tiếp tuyến vuông góc bán kính.

- Sử dụng phương trình tiếp tuyến theo điểm tiếp xúc.

- Ưu điểm: dễ hiểu, phù hợp bài tập cơ bản. Hạn chế: tốn bước tìm tọa độ điểm tiếp xúc.

4.2 Phương pháp nâng cao

- Dùng hệ số góc: giả sử tiếp tuyến có dạngy=mx+by=mx+b, dùng điều kiện khoảng cáchd(O,ax+by+c)=rd(O,ax+by+c)=r.

- Sử dụng đạo hàm trong trường hợp biểu diễn đường tròn dưới dạng hàmy=f(x)y=f(x).

- Mẹo: nhớ công thức khoảng cách và điều kiện

Delta=0\\Delta=0
cho phương trình hoành độ giao điểm.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Cho đường tròn(x2)2+(y+1)2=9(x-2)^2+(y+1)^2=9. Viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng2xy+3=02x-y+3=0.

Phân tích: Tiếp tuyến song song với2xy+3=02x-y+3=0có hệ số gócm=2m=2.

Giả sử tiếp tuyến có dạng y=2x+by=2x+b. Điều kiện tiếp xúc: khoảng cách từ tâm(2,1)(2,-1) đến đường thẳng2xy+b=02x-y+b=0bằng bán kính 3:

22(1)+b22+(1)2=3    5+b5=3    5+b=35\frac{|2 \cdot 2-(-1)+b|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=3\implies \frac{|5+b|}{\sqrt{5}}=3\implies |5+b|=3\sqrt{5}.

Suy ra b=5+35b=-5+3\sqrt{5}hoặcb=535b=-5-3\sqrt{5}. Vậy phương trình tiếp tuyến:

y=2x5+35hoặcy=2x535.y=2x-5+3\sqrt{5}\quad\text{hoặc}\quad y=2x-5-3\sqrt{5}.

5.2 Bài tập nâng cao

Đề bài: Cho đường tròn(x1)2+(y2)2=4(x-1)^2+(y-2)^2=4và điểmP(5,2)P(5,2)bên ngoài đường tròn. Viết phương trình các tiếp tuyến từ PP đến đường tròn.

Phân tích: Giả sử tiếp tuyến đi quaPPcó dạngy2=m(x5)y-2=m(x-5). Tìmmmsao cho khoảng cách từ tâm(1,2)(1,2) đến đường thẳng:

Đường thẳng: y2=m(x5)    mxy+(25m)=0.y-2=m(x-5)\implies mx-y+(2-5m)=0.

Khoảng cách tâm đến tiếp tuyến bằng bán kính 2:

m112+(25m)m2+(1)2=2.\frac{|m \cdot 1-1 \cdot 2+(2-5m)|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}=2.

Giải: 4m/m2+1=2    4m=2m2+1    4m2=4(m2+1)    m2=1    m=±1.| -4m|/\sqrt{m^2+1}=2\implies 4|m|=2\sqrt{m^2+1}\implies 4m^2=4(m^2+1)\implies m^2=1\implies m= \pm 1.

Vậy các tiếp tuyến:y2=x5    y=x3y-2=x-5\implies y=x-3hoặcy2=x+5    y=x+7.y-2=-x+5\implies y=-x+7.

6. Các biến thể thường gặp

- Tiếp tuyến cắt các đường thẳng khác hoặc song song với trục.

- Tìm tiếp tuyến đi qua điểm nằm trong hoặc ngoài đường tròn.

- Ứng dụng trong bài toán góc tạo bởi đường thẳng và tiếp tuyến.

Chiến lược: điều chỉnh công thức tiếp tuyến hoặc sử dụng điều kiệnΔ=0\Delta=0.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

- Chọn sai dạng tiếp tuyến (nhầm với cát tuyến hoặc secant).

- Không áp dụng đúng định lý vuông góc với bán kính.

Khắc phục: nắm chắc định lý và đối chiếu lại bước phân tích.

7.2 Lỗi về tính toán

- Sai sót trong tính khoảng cách hoặc rút gọn biểu thức.

- Lỗi dấu khi giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối.

Phương pháp kiểm tra: thay giá trị trở lại phương trình gốc, kiểm tra điều kiện tiếp xúc.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 50+ bài tập cách giải Bài 2. Tiếp tuyến của đường tròn miễn phí.

- Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.

- Theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng với hệ thống đề tự chấm.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

- Tuần 1: Nắm vững định nghĩa, tính chất cơ bản, làm 10 bài tập cơ bản.

- Tuần 2: Thực hành phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc, làm 15 bài tập.

- Tuần 3: Bài tập nâng cao, biến thể, 15 bài tập.

- Tuần 4: Ôn tập tổng hợp, làm đề kiểm tra, tự đánh giá và điều chỉnh chiến lược.

Mục tiêu: hoàn thành 50+ bài tập, đạt trên 80% chính xác.

Đánh giá tiến bộ: ghi chép thời gian làm bài, điểm số và rút kinh nghiệm sau mỗi bài.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".