Chiến lược giải bài toán 'Cạnh đối với góc nhọn' lớp 9: Hướng dẫn chi tiết, công thức và bài tập ứng dụng

1. Giới thiệu về bài toán 'Cạnh đối với góc nhọn' và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, chủ đề về cạnh đối với góc nhọn trong tam giác vuông giữ vai trò nền tảng giúp học sinh hiểu sâu sắc các mối quan hệ lượng giác cơ bản. Đây là dạng toán quan trọng, xuất hiện nhiều trong bài kiểm tra, đề thi, và là tiền đề cho các chuyên đề lượng giác ở lớp cao hơn.

2. Đặc điểm nhận dạng và phân tích loại bài toán này

Bài toán 'cạnh đối với góc nhọn' thường xuất hiện dưới dạng yêu cầu tính một cạnh hoặc một góc trong tam giác vuông khi biết các yếu tố còn lại, dựa vào các hệ thức lượng giác như sin, cosin, tang, cotang. Đặc điểm nhận dạng:

• Tam giác vuông có các cạnh liên hệ với một góc nhọn.
• Dữ kiện thường là độ dài cạnh hoặc số đo góc.
• Yêu cầu tính cạnh kề, cạnh đối, cạnh huyền hoặc số đo góc còn lại.

3. Chiến lược tổng thể: Cách giải bài toán 'cạnh đối với góc nhọn'

Để giải được dạng toán này, học sinh cần nắm chắc ba bước quan trọng:

1. Phân tích đề, xác định vai trò các cạnh theo góc nhọn (cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền).
2. Chọn công thức lượng giác phù hợp (sin, cos, tan, cotan).
3. Thay số, biến đổi và kết luận đáp số.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác vuông$ABC$tại$A$, biết$extrm{AB} = 6$cm,$extrm{AC} = 8$cm. Tính cạnh$extrm{BC}$và các góc nhọn của tam giác.

Bước 1. Xác định các cạnh:
-$AB$và $AC$là hai cạnh góc vuông,$BC$là cạnh huyền.

Bước 2. Tính cạnh huyền$BC$:

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \; (cm)$

Bước 3. Tính các góc nhọn bằng lượng giác:

* Góc$B$:

Do$\triangle ABC$vuông tại$A$, nên với góc$B$,$AB$là cạnh kề,$AC$là cạnh đối:

$\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Vậy

* Góc$C$:

Ta có:$C = 90^\circ - B \approx 37^\circ$.

Nhận xét: Khi biết hai cạnh, luôn xác định được cạnh, góc còn lại nhờ hệ thức lượng giác và định lý Pytago.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Cho tam giác vuông$ABC$tại$A$, góc nhọn$B$:

• Cạnh đối: là cạnh đối diện góc đang xét.
• Cạnh kề: là cạnh kề với góc đang xét (khác cạnh huyền).
• Cạnh huyền: luôn là cạnh đối diện góc vuông.

Các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông:

• $\sin\;B = \frac{cạnh đối}{cạnh huyền}$
• \cos\;B = \frac{cạnh kề}{cạnh huyền}
• \tan\;B = \frac{cạnh đối}{cạnh kề}
• \cot\;B = \frac{cạnh kề}{cạnh đối}

Định lý Pytago:
$c^2 = a^2 + b^2$
(trong đó $c$là cạnh huyền,$a$,$b$là hai cạnh góc vuông).

6. Những biến thể thường gặp và cách điều chỉnh chiến lược

Biến thể 1: Biết một góc nhọn và một cạnh, tìm cạnh còn lại.
Biến thể 2: Biết hai cạnh, yêu cầu tính các góc hoặc cạnh còn lại.
Biến thể 3: Kết hợp với các yếu tố đặc biệt như tam giác vuông cân, nhận biết cạnh đối/kề do thay đổi góc xét.

Chiến lược:
- Xác định rõ góc nào đang xét (chú ý ký hiệu trên hình vẽ!)
- Đổi giữa sin, cos, tan tùy vào dữ kiện (cạnh nào biết, cạnh nào cần tính)
- Áp dụng định lý Pytago khi biết hai cạnh và cần tìm cạnh còn lại.

7. Bài tập mẫu cùng lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho tam giác vuông$ABC$tại$A$, biết$AB = 12$cm, góc$B = 30^\circ$. Tính$AC$và $BC$.

Lời giải:
-$AB$là cạnh kề với góc$B$,$AC$là cạnh đối với góc$B$,$BC$là cạnh huyền.

Áp dụng công thức:

$\cos B = \frac{AB}{BC} \Rightarrow BC = \frac{AB}{\cos B} = \frac{12}{\cos 30^\circ} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 12 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \; (cm)$

$\tan B = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AC = AB \times \tan B = 12 \times \tan 30^\circ = 12 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \; (cm)$

8. Bài tập thực hành tự luyện

• Bài 1: Cho tam giác vuông$DEF$tại$D$,$DE = 9$cm,$DF = 12$cm. Tính$EF$và các góc nhọn của tam giác.
• Bài 2: Trong tam giác vuông$GHI$tại$H$, biết$GH = 8$cm, góc$G = 45^\circ$. Tính$HI$và $GI$.
• Bài 3: Tam giác vuông$KLM$tại$K$, có $KM = 15$cm,$LM = 17$cm. Tính$KL$và các góc nhọn$KLM$,$KMN$.

9. Mẹo, lưu ý và tránh sai lầm

• Luôn xác định đúng các cạnh đối, kề với góc đang xét.
• Soát lại phép tính đặc biệt là căn bậc hai và chia phân số.
• Góc nhọn chỉ lấy trong khoảng$0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
• Sử dụng máy tính cầm tay để tra bảng lượng giác và tính toán chính xác.
• Chú ý nhập đúng đơn vị và kiểm tra kết quả có hợp lý hay không.

Hy vọng với chiến lược này, các em sẽ thật tự tin khi gặp bài toán về 'Cạnh đối với góc nhọn' trong tam giác vuông! Hãy luyện tập đều đặn để thành thạo và đạt điểm cao nhé.