Blog

Cách giải bài toán Đặc điểm nhận biết tiếp tuyến – Chiến lược và bài tập lớp 9

T
Tác giả
5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Đặc điểm nhận biết tiếp tuyến là dạng bài tập yêu cầu xác định phương trình tiếp tuyến của đường tròn hoặc kiểm tra điều kiện để một đường thẳng là tiếp tuyến dựa trên các nguyên lý hình học và giải tích. Dạng bài này thường xuyên xuất hiện trong đề kiểm tra và đề thi học kỳ cũng như luyện thi vào lớp 10, chiếm khoảng 10–15% số câu hỏi về hình học đường tròn. Việc nắm vững kỹ năng nhận biết tiếp tuyến không chỉ giúp học sinh đạt điểm cao ở lớp 9 mà còn tạo nền tảng quan trọng cho chương trình toán lớp 10. Cơ hội luyện tập miễn phí với 100+ bài tập có lời giải chi tiết sẽ giúp các em củng cố và nâng cao kỹ năng.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

- Các dấu hiệu: đường thẳng cắt đường tròn tại đúng một điểm, hệ phương trình có nghiệm kép.
- Từ khóa: “tiếp tuyến”, “tiếp xúc”, “nghiệm kép”, “vuông góc với bán kính”.
- Phân biệt với giao tuyến: giao tuyến cắt đường tròn tại hai điểm, có hai nghiệm phân biệt.

2.2 Kiến thức cần thiết

- Định lý hình học: tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
- Công thức giải tích: với đường tròn x2+y2=r2x^2+y^2=r^2và đường thẳngy=mx+cy=mx+c, điều kiện tiếp xúc là c2=r2(1+m2).c^2=r^2(1+m^2).
- Công thức khoảng cách từ tâm O(x0,y0)O(x_0,y_0) đến đường thẳngAx+By+C=0Ax+By+C=0Ax0+By0+CA2+B2\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.
- Mối liên hệ: liên quan đến giải phương trình bậc hai và hệ hai phương trình.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

- Đọc kỹ đề, xác định rõ yêu cầu (tìm phương trình tiếp tuyến, giá trị tham số...).
- Xác định dữ liệu cho trước: tọa độ tâm, bán kính, hệ số đường thẳng.
- Gạch chân từ khóa và dữ liệu quan trọng.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

- Chọn phương pháp hình học hoặc giải tích phù hợp.
- Lên thứ tự các bước: xác định tiếp điểm, viết hệ phương trình, đặt điều kiện tiếp xúc.
- Dự đoán dạng kết quả (số nghiệm, phương trình đáp án) để kiểm tra sau.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

- Thế dữ liệu vào công thức hoặc hệ phương trình.
- Tính toán cẩn thận từng bước, kiểm tra điều kiện nghiệm kép.
- Soát lại kết quả: kiểm tra độ vuông góc giữa bán kính và tiếp tuyến, hoặc kiểm tra khoảng cách từ tâm đến đường thẳng có bằngrr.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

- Phương pháp hình học: dùng tính chất tiếp tuyến vuông góc với bán kính.
Ưu điểm: trực quan, ít tính toán.
Hạn chế: khó áp dụng khi tiếp điểm chưa biết tọa độ.

4.2 Phương pháp nâng cao

- Phương pháp giải tích: dùng điều kiện nghiệm kép của phương trình bậc hai.
Kỹ thuật giải nhanh: rút gọn hệ phương trình, sử dụng trực tiếp công thứcΔ=0\Delta=0.
Mẹo nhớ: công thứcc2=r2(1+m2)c^2=r^2(1+m^2)cho đường thẳngy=mx+cy=mx+clà tiếp tuyến củax2+y2=r2x^2+y^2=r^2.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Cho đường tròn(x1)2+(y+2)2=9(x-1)^2+(y+2)^2=9và đường thẳngd:y=mx+3d:y=mx+3. Tìm các giá trị củammđểddlà tiếp tuyến của đường tròn.

Phân tích: Vớiy=mx+3y=mx+3, thế vào(x1)2+(y+2)2=9(x-1)^2+(y+2)^2=9thu được phương trình bậc hai về xx.

(x1)2+(mx+5)29=0.(x-1)^2 + (mx+5)^2 - 9 = 0.

TínhΔ=(10m2)24(1+m2)17\Delta = (10m-2)^2 - 4(1+m^2) \cdot 17. Điều kiện tiếp xúcΔ=0\Delta=0suy ra:

Giải phương trình 32m240m64=032m^2 - 40m - 64 = 0 đượcm=5±3178m = \frac{5 \pm 3\sqrt{17}}{8}. Vậy các giá trị cần tìm là m=5±3178m = \frac{5 \pm 3\sqrt{17}}{8}.

5.2 Bài tập nâng cao

Đề bài: Cho đường trònx2+y2=16x^2+y^2 = 16và điểmP(2,2)P(2,2). Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn đi quaPP.

Lời giải: Gọi đường thẳng cần tìm có dạngy=mx+by=mx+bvà đi quaP(2,2)P(2,2)nênb=22mb = 2 - 2m.

Điều kiện tiếp xúc với đường tròn là b2=16(1+m2)b^2 = 16(1+m^2). Thaybbvào ta có:

(22m)2=16(1+m2)(2-2m)^2 = 16(1+m^2)Giải ram22m3=0m^2 - 2m - 3 = 0, suy ram=3m = 3hoặcm=1m = -1. Do đó phương trình tiếp tuyến là y=3x4y = 3x -4y=x+4y = -x + 4.

6. Các biến thể thường gặp

- Tiếp tuyến đi qua điểm nằm ngoài đường tròn.
- Tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
- Tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước.
- Tiếp tuyến kép khi tâm nằm trên đường thẳng.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

- Chọn sai phương pháp (hình học hay giải tích không phù hợp).
- Nhầm lẫn giữa giao tuyến và tiếp tuyến.
- Quên kiểm tra điều kiện nghiệm kép.

7.2 Lỗi về tính toán

- Sai sót khi khai triển đa thức.
- Bỏ sót dấu âm, sai phép tính.
- Lỗi làm tròn trong tính căn thức (nếu có).

8. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay 100+ bài tập cách giải Đặc điểm nhận biết tiếp tuyến miễn phí, không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập và theo dõi tiến độ ngay lập tức.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

- Tuần 1: Ôn lại lý thuyết, giải 20 bài tập cơ bản.
- Tuần 2: Thực hành 30 bài tập với tham số, hệ phương trình.
- Tuần 3: Giải các bài tập nâng cao, bao gồm tiếp tuyến chung.
- Tuần 4: Ôn tập tổng hợp, tự kiểm tra và đánh giá kết quả.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".