Blog

Lớp 9

Cách giải bài toán: Điều kiện để tứ giác nội tiếp đường tròn (Dành cho học sinh lớp 9)

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán tứ giác nội tiếp đường tròn

Bài toán về điều kiện để tứ giác nội tiếp đường tròn là một dạng quan trọng trong chương trình Hình học lớp 9. Đây là tiền đề cho nhiều dạng toán ôn thi vào 10 và phát triển năng lực suy luận hình học. Việc nắm vững cách giải bài toán điều kiện để tứ giác nội tiếp giúp học sinh tư duy logic, dễ dàng nhận diện các kiểu bài và liên hệ ứng dụng vào thực tế.

2. Đặc điểm nhận dạng bài toán tứ giác nội tiếp

Dấu hiệu nhận biết bài toán này gồm:

  • Cho một tứ giác bất kỳ (có thể là hình thang, hình bình hành, v.v.).
  • Yêu cầu chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, hoặc yêu cầu tìm điều kiện để tứ giác đó nội tiếp đường tròn.
  • Các dữ kiện về góc, cạnh, tính chất hình học liên quan tới đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

    • 3. Chiến lược tổng thể giải bài toán điều kiện để tứ giác nội tiếp đường tròn

    Cách giải bài toán điều kiện để tứ giác nội tiếp đường tròn dựa vào các đặc điểm sau:

  • Xác định rõ các điểm, cạnh, góc của tứ giác, liên hệ với các tính chất của đường tròn.
  • Nhận xét xem bài toán cho dạng dữ kiện về góc, cạnh, hay tính chất đặc biệt nào (hình thang, hình chữ nhật...).
  • Chọn dấu hiệu/công thức phù hợp để vận dụng (góc đối, góc ngoài, tổng hai góc đối, tứ giác nội tiếp là gì...).
  • Biến đổi điều kiện hình học về dạng toán học (góc, cạnh), chứng minh điều kiện cần và đủ.
  • Vận dụng các kiến thức tổng hợp (góc, đường tròn, tam giác đồng dạng, đối xứng...).

    • 4. Các bước giải bài toán tứ giác nội tiếp đường tròn và ví dụ minh họa

    Chúng ta sẽ lần lượt giải theo các bước sau:

  • Bước 1: Vẽ hình, xác định các yếu tố đã cho và cần chứng minh.
  • Bước 2: Nhận diện loại dữ kiện (góc, cạnh, điểm thị sai,...)
  • Bước 3: Sử dụng các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp để kiểm chứng.
  • Bước 4: Trình bày luận giải, lý do tại sao dấu hiệu đó đúng với hình vẽ cụ thể.

    • Ví dụ minh họa 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp

    Cho hình tứ giácABCDABCDcó ∠BAD+∠BCD=180∘\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ. Chứng minhABCDABCDnội tiếp một đường tròn.

    Giải:

  • Tứ giácABCDABCDnội tiếp đường tròn nếu và chỉ nếu tổng hai góc đối bằng180∘180^\circ.
  • Ở đây:∠BAD+∠BCD=180∘\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ.
  • VậyABCDABCDnội tiếp một đường tròn (theo định lý điều kiện tứ giác nội tiếp).

    • Ví dụ minh họa 2: Cho hình thangABCDABCD(AB//CDAB // CD), hai góc kề một đáyABABbằng60∘60^\circvà 120∘120^\circ. Hỏi hình thang đó có nội tiếp được đường tròn không?

    Giải:

  • Tổng hai góc kề một cạnh đáy=60∘+120∘=180∘= 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ.
  • Hình thangABCDABCDnội tiếp đường tròn (theo dấu hiệu: tổng hai góc kề một đáy=180∘= 180^\circthì nội tiếp được đường tròn).

    • 5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

    - Điều kiện cần và đủ để tứ giácABCDABCDnội tiếp đường tròn là:∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circhoặc∠B+∠D=180∘\angle B + \angle D = 180^\circ.

    - Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp luôn bằng180∘180^\circ.

    - Một tứ giác có các đỉnh cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một góc không đổi thì luôn nội tiếp được đường tròn.

    - Khi biết các cạnh: Với hình thang, tổng độ dài hai cạnh đối bằng tổng của hai cạnh kia (chỉ với loại hình thang cân).

    6. Các biến thể của dạng bài và cách điều chỉnh chiến lược

  • Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp khi đã biết số đo các góc.
  • Bài toán tìm điều kiện về cạnh hoặc góc để tứ giác (không định trước loại hình) nội tiếp đường tròn.
  • Bài toán liên quan tứ giác nội tiếp và các yếu tố phụ như tiếp tuyến, tam giác đồng dạng, trục đối xứng...
  • Câu hỏi thực tế hóa, ứng dụng (vẽ hình, đặt bài toán thực hành, yêu cầu dựng hình thỏa mãn điều kiện nội tiếp).

    • 7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

    Bài toán: Cho tứ giácABCDABCDvớiAB⊥BCAB \perp BC,AD⊥DCAD \perp DCvà AB=DCAB = DC. Chứng minhABCDABCDnội tiếp được đường tròn.

    Giải:

  • GọiOOlà giao điểm của hai đường chéoACACvà BDBD.
  • Xét△ABO\triangle ABOvà △DCO\triangle DCOcó:AB=DCAB = DC(gt),∠BAO=∠DCO=90∘\angle BAO = \angle DCO = 90^\circ.
  • Hai tam giác này đồng dạng (cạnh huyền và góc nhọn).
  • Do đó, gócBADBADvà gócBCDBCDcùng phụ nhau (=90∘= 90^\circ), tổngBAD+BCD=180∘BAD + BCD = 180^\circ.
  • Theo điều kiện tổng hai góc đối=180∘= 180^\circ, tứ giácABCDABCDnội tiếp đường tròn.

    • 8. Bài tập tự luyện

  • Bài 1: Cho tứ giácEFGHEFGHcó ∠F+∠H=180∘\angle F + \angle H = 180^\circ. Chứng minhEFGHEFGHnội tiếp đường tròn.
  • Bài 2: Cho hình thang cânMNOPMNOP(MN//OPMN // OP),∠NMO=∠NPO\angle NMO = \angle NPO. Chứng minhMNOPMNOPnội tiếp đường tròn.
  • Bài 3: Cho tứ giácQRSTQRSTvớiQR=STQR = ST,∠Q+∠S=180∘\angle Q + \angle S = 180^\circ. Chứng minhQRSTQRSTnội tiếp đường tròn.
  • Bài 4: Cho hình bình hànhUVWXUVWXcó thêm∠U+∠X=180∘\angle U + \angle X = 180^\circ.UVWXUVWXcó nội tiếp đường tròn không? Giải thích.

    • 9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

    - Đừng quên tứ giác nội tiếp bắt buộc tổng hai góc đối bằng180∘180^\circ, dù là góc tù hay góc nhọn.

    - Cần vẽ hình chính xác và phân biệt tên các góc, cạnh.

    - Đối với hình thang: Chỉ hình thang cân mới nội tiếp được đường tròn.

    - Luôn kiểm tra lại điều kiện tổng góc, vì dễ nhầm lẫn góc kề với góc đối.

    - Khi bài toán chưa đủ thông tin, nên cố thêm lập hệ, vẽ thêm yếu tố phụ (vẽ đường kính, nối các điểm...).

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".