1. Giới thiệu về dạng bài toán Đường thẳng cắt đường tròn

- Đặc điểm: Một đường thẳng có thể cắt một đường tròn tại hai điểm, tiếp tuyến (1 điểm) hoặc không cắt (0 điểm).

- Tần suất xuất hiện: Rất thường gặp trong các đề thi học kỳ và kiểm tra 15 phút.

- Tầm quan trọng: Giúp học sinh nắm vững quan hệ hình học, kỹ năng suy luận và tính toán chính xác.

- Cơ hội luyện tập miễn phí với hơn 100 bài tập.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

- Dấu hiệu trong đề: Xuất hiện phương trình đường thẳng$Ax+By+C=0$và đường tròn$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$.

- Từ khóa: “giao điểm”, “tìm tọa độ giao điểm”, “khoảng cách từ tâm đến đường thẳng”, “phương trình tiếp tuyến”.

- Phân biệt với tiếp tuyến: Tiếp tuyến khi khoảng cách$d=r$, còn cắt khi$d<r$.

2.2 Kiến thức cần thiết

- Công thức khoảng cách từ $O(x_0,y_0)$ đến$d: Ax+By+C=0$: $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.

- Phương trình giải giao điểm: Giải hệ:

- Kỹ năng: Thay thế, biến đổi đại số, tính căn thức, so sánh giá trị.

- Mối liên hệ: Chủ đề phương trình đường thẳng, hình học giải tích, phương trình bậc hai.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

- Đọc kỹ đề, xác định hình cho trước: tâm, bán kính, phương trình đường thẳng.

- Ghi rõ yêu cầu: số giao điểm, tọa độ giao điểm, phương trình tiếp tuyến...

- Tách dữ liệu:$x_0,y_0,r$và hệ số $A,B,C$.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

- Chọn công thức khoảng cách hoặc giải hệ phương trình.

- Sắp xếp: Tính$d$, so sánh với$r$, hoặc thay thế để tìm tọa độ.

- Dự đoán kết quả để kiểm tra tính hợp lý.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

- Áp dụng công thức $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.

- Tính toán cẩn thận, đưa về giá trị số, so sánh với$r$.

- Nếu yêu cầu, giải hệ để tìm giao điểm chi tiết.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

- Phương pháp truyền thống: Tính khoảng cách rồi giải hệ.

- Ưu điểm: Rõ ràng, dễ nhớ; Hạn chế: Tốn thời gian tính căn.

- Sử dụng khi đề yêu cầu số giao điểm hoặc tọa độ chính xác.

4.2 Phương pháp nâng cao

- Kỹ thuật giải nhanh: Dùng định thức và biến đổi nhanh.

- Tối ưu hoá: Sử dụng công thức rút gọn, tránh lặp lại phép tính căn.

- Mẹo: Nhận biết ngay quan hệ $d<r$,$d=r$,$d>r$.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Cho đường tròn$x^2+y^2=25$và đường thẳng$d:3x-4y+12=0$. Xác định số giao điểm giữa$d$và $(C)$.

Phân tích

- Tâm$O(0,0)$, bán kính$r=5$, hệ số $A=3$,$B=-4$,$C=12$.

- Tính khoảng cách: $d=\frac{|3 \cdot 0-4 \cdot 0+12|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{12}{5}=2.4.$

- So sánh:$2.4<5 \Rightarrow$giao nhau tại 2 điểm.

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức, ta có $d=2.4<5$, vậy đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm.

5.2 Bài tập nâng cao

Cho đường tròn$(x-1)^2+(y+2)^2=4$và đường thẳng$d: x-2y+1=0$. Tìm tọa độ giao điểm.

Phân tích và giải pháp

- Tâm $O(1,-2)$, $r=2$. Tính $d=\frac{|1-2(-2)+1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{6}{\sqrt{5}} \approx 2.683$và so sánh với$r=2$.

- Vì $d>r$, không có giao điểm. Kiểm tra kết quả phù hợp.

6. Các biến thể thường gặp

- Đường thẳng dạng tham số, dạng điểm-vector.

- Đường tròn có tâm$O(x_0,y_0)$không tại gốc toạ độ.

- Biến đổi loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối trong công thức$d$.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

- Chọn sai công thức hay quên so sánh$d$và $r$.

- Cách tránh: Ghi chú công thức và chú ý dấu$|...|$.

7.2 Lỗi về tính toán

- Nhầm lẫn trong tính căn thức, làm tròn số không hợp lý.

- Kiểm tra lại bằng cách thay ngược vào phương trình.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập hơn 100 bài tập cách giải Đường thẳng cắt đường tròn miễn phí, không cần đăng ký, bắt đầu ngay.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

- Tuần 1: Ôn công thức và thực hành 20 bài cơ bản.

- Tuần 2: Giải 20 bài nâng cao, tập nhận dạng biến thể.

- Tuần 3: Kiểm tra tổng hợp 30 bài, tự đánh giá tiến độ.