1. Giới thiệu về bài toán Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Trong chương trình toán lớp 9, bài toán về hai đường tròn tiếp xúc nhau là một dạng bài thường gặp trong các đề kiểm tra, thi học kì và cả các đề luyện thi vào lớp 10 chuyên. Các bài toán này tập trung vào việc xác định vị trí, các điểm chung, vẽ hình, thiết lập quan hệ giữa các đoạn thẳng, bán kính và tâm các đường tròn khi chúng tiếp xúc trong hoặc ngoài. Nắm vững kiến thức và phương pháp giải bài toán này giúp học sinh rèn luyện tư duy hình học, kỹ năng vẽ hình chính xác và lập luận chặt chẽ, đồng thời chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng.

2. Đặc điểm nhận biết và phân tích bài toán Hai đường tròn tiếp xúc nhau

• Có hai đường tròn$O$,$O'$với các bán kính$R$,$r$.
• Hai đường tròn chỉ có một điểm chung duy nhất – điểm tiếp xúc.
• Hai đường tròn có thể tiếp xúc ngoài ($OO' = R + r$) hoặc tiếp xúc trong ($OO' = |R - r|$).
• Yêu cầu chứng minh: các điểm thẳng hàng, xác định vị trí tiếp điểm, độ dài đoạn thẳng nối tâm, hoặc tính diện tích, chu vi …

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

• Luôn bắt đầu bằng cách nhận biết kiểu tiếp xúc (trong hay ngoài).
• Vẽ hình chính xác: Ghi rõ vị trí tâm, bán kính, điểm tiếp xúc.
• Áp dụng các hệ thức (khoảng cách giữa hai tâm, quan hệ các đoạn thẳng, tính chất tiếp tuyến, ...)
• Lập luận dựa trên các tính chất hình học: tính chất tiếp tuyến, đồng quy, tam giác đồng dạng, v.v.

4. Các bước giải dạng toán này và ví dụ minh hoạ

Xét ví dụ cụ thể:

Ví dụ 1: Cho hai đường tròn$(O;R)$và $(O';r)$tiếp xúc ngoài tại điểm$A$. Hãy chứng minh rằng$OO'$ đi qua$A$và tính độ dài$OO'$biết$R = 5cm$,$r = 3cm$.

• Bước 1: Nhận biết tiếp xúc ngoài →$OO' = R + r = 8cm$
• Bước 2: Vẽ hình, xác định tâm$O$,$O'$, điểm tiếp xúc$A$, kẻ các bán kính$OA$,$O'A$
• Bước 3: Nhận thấy$OA$vuông góc với tiếp tuyến chung tại$A$và $O'A$cũng vậy. Do đó $O$,$A$,$O'$thẳng hàng.
• Bước 4: Kết luận$OO'$ đi qua$A$và độ dài$OO' = 8cm$

Ví dụ 2:$(O;4cm)$và $(O';2cm)$tiếp xúc trong nhau tại$A$. Tính$OO'$.

• Nhận biết tiếp xúc trong →$OO' = |R - r| = |4 - 2| = 2cm$
• Điểm$A$nằm trên cả hai đường tròn, thẳng hàng với$O$,$O'$.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tiếp xúc ngoài:$OO' = R + r$
• Tiếp xúc trong:$OO' = |R - r|$
• Tại điểm tiếp xúc$A$,$OA \perp$tiếp tuyến tại$A$,$O'A \perp$tiếp tuyến tại$A$
• Điểm$A$,$O$,$O'$luôn thẳng hàng

Ngoài ra, khi xuất hiện tiếp tuyến chung ngoài hoặc trong, dùng định lý Pythagore hoặc áp dụng định lý về khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến.

6. Một số biến thể thường gặp và chiến lược điều chỉnh

• Tìm điểm tiếp xúc giữa hai đường tròn dựa vào sơ đồ hình học
• Tính độ dài tiếp tuyến chung ngoài, trong giữa hai đường tròn: $d = \sqrt{OO'^2 - (R \pm r)^2}$(dấu$+$với tiếp tuyến ngoài,$-$ với tiếp tuyến trong)
• Bài toán cho đường tròn đi qua điểm cố định nào đó rồi yêu cầu xác định tương quan với đường tròn còn lại
• Bài toán tổng hợp: kết hợp thêm góc, tam giác, tiếp tuyến, chứng minh đồng quy, ...

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho đường tròn$(O;4cm)$và $(O';1cm)$tiếp xúc ngoài tại$A$. Từ một điểm$M$nằm trên tiếp tuyến chung ngoài, kẻ các tiếp tuyến$MB, MC$với$(O)$,$MD, ME$với$(O')$. Chứng minh$MB = MC$,$MD = ME$và $MB \cdot MD = OA^2$.

Giải:

• -$MB = MC$(cùng là tiếp tuyến từ $M$ đến$(O)$nên bằng nhau),$MD=ME$(cùng là tiếp tuyến từ $M$ đến$(O')$).
• -$MB \cdot MD = OA^2$là hệ thức của hai tiếp tuyến cắt nhau từ một điểm ngoài hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

Từ tính chất tiếp tuyến:$MB^2 = MO^2 - R^2$,$MD^2 = MO'^2 - r^2$.
Mặt khác, mô hình tiếp xúc ngoài cho$OO' = R + r = 4 + 1 = 5$(cm). Vị trí $M$có thể biết hoặc giả định phù hợp để tính cụ thể.

8. Bài tập tự luyện

• Bài 1: Cho$(O;3cm)$,$(O';2cm)$tiếp xúc ngoài tại$A$. Tính$OO'$. Vẽ hình xác định vị trí các tâm và điểm tiếp xúc.
• Bài 2: Cho$(O;5cm)$,$(O';2cm)$tiếp xúc trong tại$A$. Tính$OO'$, vẽ hình.
• Bài 3: Từ điểm$M$nằm ngoài đường tròn$(O;4cm)$, kẻ hai tiếp tuyến$MA, MB$($A$,$B$là các tiếp điểm). Chứng minh$MA = MB$và $MO^2 = MA^2 + OA^2$.

9. Mẹo, lưu ý tránh sai sót khi làm bài

• Xác định đúng loại tiếp xúc (trong/ngoài) để áp dụng công thức cho chính xác.
• Vẽ hình chuẩn, đầy đủ ký hiệu các đoạn, điểm, góc liên quan.
• Ghi nhớ: 2 tâm và điểm tiếp xúc luôn thẳng hàng.
• Đọc kỹ giả thiết, tuyệt đối không nhầm lẫn giữa tiếp xúc ngoài và trong!
• Chú ý xác định hướng vẽ: tiếp điểm luôn nằm giữa 2 tâm khi tiếp xúc trong, còn nằm ngoài khi tiếp xúc ngoài.