1. Giới thiệu về bài toán tổng và tích nghiệm

Trong chương trình Toán lớp 9, bài toán “Tổng và tích nghiệm” là một dạng bài quan trọng, xuất hiện nhiều trong các bài kiểm tra, đề thi và phục vụ nền tảng cho kiến thức bậc THPT. Loại bài toán này thường xoay quanh việc khai thác mối liên hệ giữa nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số của nó, đặc biệt thông qua định lý Viète.

2. Đặc điểm của bài toán tổng và tích nghiệm

• Bài toán thường liên quan đến phương trình bậc hai$ax^2 + bx + c = 0$có hai nghiệm$x_1, x_2$.
• Tổng và tích nghiệm được liên hệ với hệ số qua định lý Viète:$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$,$x_1 x_2 = \frac{c}{a}$.
• Nhiều câu hỏi yêu cầu tính giá trị biểu thức chứa nghiệm, xác định phương trình khi biết tổng và tích nghiệm, hoặc dựng phương trình theo tính chất của nghiệm.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

1. Xác định dạng chính xác của bài toán: tìm nghiệm, tìm giá trị biểu thức, hay dựng phương trình.
2. Áp dụng định lý Viète hoặc các hệ thức nghiệm để liên kết các hệ số với nghiệm.
3. Sử dụng biến đổi đại số hợp lý để giải quyết bài toán.
4. Kiểm tra điều kiện tồn tại nghiệm (thường yêu cầu: phương trình phải có hai nghiệm phân biệt/thực).

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa 1: Cho phương trình$x^2 - 5x + 6 = 0$. Tính tổng và tích hai nghiệm.

1. Xác định$a = 1, b = -5, c = 6$
2. Áp dụng định lý Viète:
3. Tổng nghiệm:$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5$.
4. Tích nghiệm:$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$.

Ví dụ minh họa 2: Cho$x_1, x_2$là nghiệm của$2x^2 - 4x + 3 = 0$. Tính$x_1^2 + x_2^2$.

1. Áp dụng:$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$
2. Ta có:$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{2} = 2$
3. Tích:$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$
4. Vậy:$x_1^2 + x_2^2 = 2^2 - 2 \times \frac{3}{2} = 4 - 3 = 1$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tổng và tích nghiệm của phương trình$ax^2 + bx + c = 0$:
• $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$
• Biến đổi biểu thức liên quan:

• $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$
• $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2)$
• $x_1^n + x_2^n$có thể được tính quy nạp hoặc theo các công thức tổng quát

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

• Tìm phương trình bậc hai khi biết tổng và tích nghiệm:
• Nếu biết$S = x_1 + x_2$,$P = x_1 x_2$, phương trình là $x^2 - Sx + P = 0$.
• Xác định biểu thức chứa nghiệm: những biểu thức như $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$.
• Điều kiện tồn tại nghiệm thực:$\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho phương trình$x^2 - 6x + 8 = 0$. Hãy tìm tổng, tích nghiệm và xây dựng một biểu thức$x_1^2 + x_2^2$.

1. Hệ số:$a = 1, b = -6, c = 8$.
2. Tổng nghiệm:$x_1 + x_2 = -\frac{-6}{1} = 6$.
3. Tích nghiệm:$x_1 x_2 = \frac{8}{1} = 8$.
4. Biểu thức:$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 6^2 - 2 \times 8 = 36 - 16 = 20$.

Bài tập 2: Biết tổng hai nghiệm của phương trình là $5$, tích là $6$. Hãy lập phương trình.

1. Dùng công thức:$x^2 - Sx + P = 0$với$S = 5, P = 6$.
2. Ta có phương trình:$x^2 - 5x + 6 = 0$.

8. Bài tập thực hành

1. Cho phương trình$x^2 - 7x + 12 = 0$. Tính tổng, tích nghiệm và $x_1^2 + x_2^2$.
2. Cho$x_1, x_2$là nghiệm của$x^2 - 3x + 2 = 0$. Tính$x_1^3 + x_2^3$.
3. Biết tổng hai nghiệm là $4$, tích là $1$. Lập phương trình có hai nghiệm này.
4. Cho phương trình$2x^2 - 8x + 6 = 0$. Tính$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$.

9. Các mẹo, lưu ý khi giải bài toán tổng và tích nghiệm

• Luôn xác định chính xác vai trò của các hệ số $a, b, c$.
• Kiểm tra điều kiện có nghiệm thực (hoặc phân biệt, tuỳ đề bài).
• Khi biểu thức cần tính chứa bậc cao, ưu tiên biến đổi về tổng và tích nghiệm.
• Đọc kỹ yêu cầu đề bài để tránh nhầm lẫn giữa tổng và tích nghiệm.
• Cẩn thận với dấu âm/dương khi thay vào công thức.