Cách giải bài toán Phần chung của mặt phẳng và hình cầu cho học sinh Lớp 9

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Trong chương trình Toán lớp 9, bài toán phần chung của mặt phẳng và hình cầu yêu cầu xác định giao tuyến giữa một mặt phẳng và một hình cầu trong không gian.

- Đặc điểm của bài toán: xác định giao tuyến giữa một mặt phẳng và một hình cầu trong không gian.

- Tần suất xuất hiện: thường gặp trong đề thi học kỳ, kiểm tra 15 phút và các chuyên đề hình học không gian.

- Tầm quan trọng: rèn luyện kỹ năng sử dụng công thức khoảng cách điểm–phẳng và kiến thức hình học không gian.

- Cơ hội luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

- Xuất hiện phương trình mặt phẳng$Ax+By+Cz+D=0$và phương trình hình cầu$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$.

- Từ khóa: “giao tuyến”, “phần chung”, “đường tròn”, “hình tròn”.

- Phân biệt với dạng giao điểm đường thẳng – hình cầu hoặc giao tuyến hai mặt phẳng.

2.2 Kiến thức cần thiết

- Công thức khoảng cách từ điểm $I(x_0,y_0,z_0)$ đến mặt phẳng$Ax+By+Cz+D=0$: $d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

- Công thức bán kính giao tuyến (nếu có): $r = \sqrt{R^2 - d^2}$

- Phương pháp tọa độ và vectơ.

- Kỹ năng biến đổi đại số, tính căn bậc hai và giá trị tuyệt đối.

- Liên hệ với định lý Pythagore trong không gian.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

- Xác định rõ phương trình mặt phẳng và phương trình hình cầu.

- Ghi chú các dữ kiện: tâm, bán kính, tham số của mặt phẳng.

- Định nghĩa yêu cầu: tìm giao tuyến (đường tròn), điều kiện tồn tại.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

- Tính khoảng cách$d$từ tâm hình cầu đến mặt phẳng bằng công thức ở phần 2.

- So sánh$d$với$R$ để xác định: không có giao tuyến ($d>R$), tiếp xúc ($d=R$), giao tuyến là đường tròn ($d<R$).

- Tìm bán kính giao tuyến: $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.

- Xác định tâm giao tuyến bằng cách chiếu tâm hình cầu lên mặt phẳng.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

- Áp dụng công thức, thay số và tính toán cẩn thận.

- Chú ý dấu tuyệt đối và loại nghiệm vô nghĩa.

- Kiểm tra lại kết quả, đảm bảo điều kiện tồn tại giao tuyến.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

- Phương pháp tọa độ: đặt hệ trục$Oxyz$, viết phương trình, tính$d$,$r$.

- Ưu điểm: dễ theo dõi từng bước, rõ ràng.

- Hạn chế: nhiều tính toán, dễ nhầm lẫn.

4.2 Phương pháp nâng cao

- Sử dụng vectơ pháp tuyến$\mathbf{n}=(A,B,C)$ để tìm tọa độ tâm giao tuyến.

- Công thức nhanh:$I' = I - \frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}(A,B,C).$

- Mẹo ghi nhớ: kết hợp xác định tâm và bán kính trong một bước tính.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

- Đề bài: Cho hình cầu tâm$I(1,2,3)$bán kính$R=5$và mặt phẳng$(P):2x-y+2z-4=0$. Tìm giao tuyến.

- Phân tích: tính$d$, so sánh với$R$, xác định$r$, tọa độ tâm giao tuyến.

- Lời giải:

1. Tính khoảng cách: $d = \frac{|2 \cdot 1 -1 \cdot 2 +2 \cdot 3 -4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{2}{3}.$

2. Vì $d<5$, giao tuyến là đường tròn bán kính $r = \sqrt{5^2 - (\frac{2}{3})^2} = \frac{\sqrt{221}}{3}.$

3. Tọa độ tâm giao tuyến:$I' = (1,2,3) - \frac{2}{9}(2,-1,2) = \left(\frac{5}{9},\frac{20}{9},\frac{23}{9}\right).$

5.2 Bài tập nâng cao

- Đề bài: Cho hình cầu tâm$I(2,-1,4)$bán kính$R=6$và mặt phẳng$(P):x+2y+2z+1=0$. Tìm giao tuyến và chứng minh các vectơ pháp tuyến.

- Cách 1 (tọa độ): tính$d$,$r$,$I'$.

- Cách 2 (vectơ): dùng công thức nhanh với vectơ pháp tuyến.

- So sánh: phương pháp 2 nhanh hơn nhưng cần ghi nhớ công thức.

6. Các biến thể thường gặp

- Mặt phẳng đi qua tâm hình cầu ($d=0$): giao tuyến là đường tròn lớn bán kính$R$.

- Mặt phẳng tiếp xúc ($d=R$): tiếp xúc tại một điểm.

- Mặt phẳng song song với trục tọa độ: chọn hệ trục phù hợp giảm tính toán.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

- Chọn sai công thức khoảng cách.

- Nhầm lẫn giữa các trường hợp$d>R$,$d=R$,$d<R$.

- Quên kiểm tra điều kiện tồn tại giao tuyến.

7.2 Lỗi về tính toán

- Sai sót trong tính giá trị tuyệt đối.

- Lỗi khi tính căn bậc hai, làm tròn số.

- Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay vào phương trình.

8. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập 42.226+ bài tập cách giải Phần chung của mặt phẳng và hình cầu miễn phí.

- Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.

- Theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng giải toán.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

- Tuần 1: Ôn công thức và lý thuyết cơ bản.

- Tuần 2: Thực hành bài tập cơ bản (20 bài).

- Tuần 3: Bài tập nâng cao và biến thể (15 bài).

- Tuần 4: Ôn tập tổng hợp và tự kiểm tra (10 bài).

- Mục tiêu: đạt khả năng giải bài đúng 90% trở lên.