Cách giải bài toán Thiết lập bảng tần số tương đối ghép nhóm - Toán 9

1. Giới thiệu về dạng bài toán

- Đặc điểm: Cho một tập dữ liệu thô, yêu cầu xác định dải biến, chia nhóm và tính tần số tương đối cho mỗi lớp.

- Tần suất xuất hiện trong đề thi và bài kiểm tra: Thường xuất hiện trong các đề kiểm tra học kỳ và kiểm tra chương trình Toán 9.

- Tầm quan trọng trong chương trình học lớp 9: Giúp học sinh hình thành tư duy thống kê và phân tích số liệu.

- Cơ hội luyện tập miễn phí với 100+ bài tập.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

- Dữ liệu rời rạc cần ghép nhóm theo khoảng.

- Yêu cầu xác lập bảng tần số và tần số tương đối.

- Từ khóa: "bảng tần số", "tần số tương đối", "ghép nhóm".

- Phân biệt với tần số tích lũy: tần số tương đối chỉ tính riêng cho từng lớp.

2.2 Kiến thức cần thiết

- Công thức tính tần số tương đối:$p_i = \frac{n_i}{N}$.

- Công thức tính số lớp (quy tắc Sturges):$k \approx 1 + 3.322\log_{10}N$.

- Kỹ năng tính toán với phân số và số thập phân.

- Liên hệ với tần số tích lũy và tần số phần trăm.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

- Đọc kỹ phần dữ liệu cho sẵn, chú ý số lượng quan sát$N$và giới hạn dải biến ($x_{min}, x_{max}$).

- Xác định yêu cầu: thiết lập số lớp$k$, tính tần số $n_i$và tần số tương đối$p_i$.

- Nhận diện dữ liệu đã cho và dữ liệu cần tìm.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

- Chọn phương pháp xác định số lớp: đặt trước$k$hoặc dùng quy tắc Sturges.

- Tính độ rộng lớp:$h = \frac{x_{max} - x_{min}}{k}$và làm tròn phù hợp.

- Dự đoán tổng tần số và tần số tương đối để kiểm tra: $\sum_{i=1}^{k}n_i = N, \quad \sum_{i=1}^{k}p_i = 1$.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

- Chia khoảng dữ liệu thành$k$lớp, ghi rõ giới hạn từng lớp.

- Đếm số quan sát$n_i$trong mỗi lớp.

- Tính tần số tương đối:$p_i = \frac{n_i}{N}$, làm tròn đến ba chữ số thập phân nếu cần.

- Kiểm tra độ hợp lý của kết quả.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

Phương pháp truyền thống dựa trên các bước chia lớp và đếm tần số từng lớp.

- Ưu điểm: Dễ hiểu, hệ thống rõ ràng.

- Hạn chế: Tốn thời gian khi số liệu lớn.

- Sử dụng khi dữ liệu không quá nhiều và số lớp nhỏ.

4.2 Phương pháp nâng cao

- Kỹ thuật giải nhanh: dùng bảng tần số thô và quy tắc chạy con lăn để đếm nhanh.

- Tối ưu hóa tính toán: tính sơ bộ tần số từng lớp bằng cách xác định công thức phân phối đều.

- Mẹo nhớ: sử dụng quy tắc Sturges để dự đoán nhanh số lớp$k$.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Cho số liệu về cân nặng (kg) của 10 học sinh: 48, 52, 50, 47, 53, 49, 51, 54, 46, 55. Thiết lập bảng tần số tương đối ghép nhóm với 2 lớp bằng nhau.

Phân tích:$N = 10$,$x_{min} = 46$,$x_{max} = 55$, số lớp$k = 2$, độ rộng lớp$h = \frac{55 - 46}{2} = 4.5 \approx 5$.

Lập bảng:

Lớp 1: [46, 50],$n_1 = 6$,$p_1 = \frac{6}{10} = 0.6$.

Lớp 2: (50, 55],$n_2 = 4$,$p_2 = \frac{4}{10} = 0.4$.

Kiểm tra:$n_1 + n_2 = 10$,$p_1 + p_2 = 1.0$.

5.2 Bài tập nâng cao

Đề bài: Cho 15 giá trị điểm kiểm tra: 5, 6, 7, 8, 9, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 6, 7, 8, 9. Thiết lập bảng tần số tương đối ghép nhóm, xác định số lớp theo quy tắc Sturges.

Phân tích:$N = 15$,$x_{min}=5$,$x_{max}=10$, theo quy tắc Sturges:$k \approx 1 + 3.322\log_{10}(15) \approx 4.9 \approx 5$. Chọn$k = 5$, độ rộng lớp$h = \frac{10 - 5}{5} = 1$.

Các lớp: [5, 6), [6, 7), [7, 8), [8, 9), [9, 10], với$n_1 = 2$,$n_2 = 3$,$n_3 = 3$,$n_4 = 3$,$n_5 = 4$.

Tính tần số tương đối:$p_1 = \frac{2}{15} \approx 0.133$,$p_2 = 0.2$,$p_3 = 0.2$,$p_4 = 0.2$,$p_5 = \frac{4}{15} \approx 0.267$.

Kiểm tra: $\sum n_i = 15$, $\sum p_i = 1.0$.

Phương pháp khác: Sử dụng bảng tần số thô rồi chuyển sang tần số tương đối, tiết kiệm bước đếm lại.

6. Các biến thể thường gặp

- Ghép nhóm không đều: lớp có độ rộng khác nhau, tính tần số tương đối tương tự nhưng lưu ý độ rộng lớp.

- Tính tần số phần trăm:$\% = p_i \times 100\%$.

- Bảng tần số tích lũy: quan tâm đến tổng tích lũy của$n_i$hoặc$p_i$.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

- Chọn sai số lớp$k$hoặc độ rộng lớp$h$.

- Áp dụng công thức$p_i$không đúng: quên chia cho$N$.

- Khắc phục: luôn viết công thức tổng quát và kiểm tra lại bước tính$k$và $h$.

7.2 Lỗi về tính toán

- Sai sót khi đếm$n_i$: bỏ sót giá trị ở biên.

- Lỗi làm tròn số: làm tròn quá sớm gây sai tổng.

- Cách kiểm tra: tính lại tổng $n_i$và tổng$p_i$, đảm bảo $\sum n_i = N và$\sum p_i = 1$.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 100+ bài tập cách giải Thiết lập bảng tần số tương đối ghép nhóm miễn phí.

Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức và theo dõi tiến độ.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

Tuần 1: Ôn lý thuyết và làm 10 bài cơ bản.

Tuần 2: Thực hành 20 bài đa dạng biến thể.

Tuần 3: Giải 20 bài nâng cao, tập trung cải thiện tốc độ.

Tuần 4: Làm đề tổng hợp, đánh giá tiến bộ và củng cố kiến thức.