Chiến lược giải bài toán Vị trí tương đối của hai đường tròn cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán “Vị trí tương đối của hai đường tròn” là một dạng hình học cơ bản thường gặp trong chương trình Toán lớp 9. Đề bài thường cho tâm và bán kính của hai đường tròn hoặc tọa độ, yêu cầu xác định chúng cắt nhau, tiếp xúc hay tách rời. Dạng bài này xuất hiện đều đặn trong các đề kiểm tra và đề thi giữa, cuối kỳ, ôn thi vào lớp 10. Nắm vững nội dung giúp học sinh củng cố kiến thức về khoảng cách, bán kính và các công thức hình học. Đây cũng là cơ hội luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập trực tuyến để nâng cao kỹ năng giải toán.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

- Đề bài cho tâm$A(x_1,y_1)$, tâm$B(x_2,y_2)$và bán kính$r_1, r_2$hoặc trực tiếp cho khoảng cách$d=AB$và $r_1,r_2$.
- Từ khóa: “cắt nhau”, “tiếp xúc trong”, “tiếp xúc ngoài”, “không giao nhau”.

2.2 Kiến thức cần thiết

- Công thức khoảng cách giữa hai tâm: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
- Định lý về vị trí tương đối dựa trên so sánh $d$, $r_1+r_2$và $|r_1-r_2|$.
- Kỹ năng tính căn bậc hai, so sánh giá trị, đọc đề cẩn thận.
- Liên hệ với chủ đề đường tròn, hệ tọa độ, khoảng cách trong mặt phẳng.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

- Đọc kỹ thông tin về tâm và bán kính.
- Xác định đúng yêu cầu: xác định vị trí tương đối hay tính khoảng cách.
- Ghi rõ dữ liệu đã cho:$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$,$r_1$,$r_2$.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

- Tính khoảng cách$d$.
- So sánh$d$với$r_1+r_2$và $|r_1-r_2|$.
- Dự đoán vị trí tương đối (cắt, tiếp xúc, tách rời) để sau khi tính nhanh đối chiếu.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

- Áp dụng công thức tính$d$và so sánh.
- Viết kết luận rõ ràng kèm điều kiện:
• Nếu$|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$thì hai đường tròn cắt nhau.
• Nếu$d=r_1+r_2$tiếp xúc ngoài;$d=|r_1-r_2|$tiếp xúc trong.
• Nếu$d>r_1+r_2$hoặc$d<|r_1-r_2|$thì không giao nhau.
- Kiểm tra lại kết quả, chú ý đơn vị nếu có.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

- Tiếp cận truyền thống: tính$d$, so sánh với$r_1+r_2$,$|r_1-r_2|$.
- Ưu điểm: rõ ràng, dễ nhớ.
- Hạn chế: mất thời gian nếu nhiều phép tính.

4.2 Phương pháp nâng cao

- Sử dụng bình phương để tránh tính căn:
• So sánh $d^2$với$(r_1+r_2)^2$và $(r_1-r_2)^2$.
- Tối ưu: tránh bước $\sqrt{}$, giảm sai số.
- Mẹo nhớ nhanh công thức bình phương hai tổng/hạng tử.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Cho hai đường tròn$C_1$tâm$A(0,0)$bán kính$3$và $C_2$tâm$B(5,0)$bán kính$2$. Xác định vị trí tương đối của$C_1$và $C_2$.

Phân tích & giải:
1) Tính $d=AB=\sqrt{(5-0)^2+(0-0)^2}=5.$
2) So sánh với$r_1+r_2=3+2=5$và $|r_1-r_2|=|3-2|=1$.
3) Vì $d=5=r_1+r_2$ nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

5.2 Bài tập nâng cao

Đề bài: Cho$C_1(A(1,2),r_1=4)$và $C_2(B(6,4),r_2=2)$. Xác định vị trí tương đối và tìm giao điểm nếu có.

Cách 1 (cơ bản):
1) $d=\sqrt{(6-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}.$
2)$r_1+r_2=6$, $|r_1-r_2|=2$. Vì $2<\sqrt{29}<6$ nên cắt nhau.
3) Giải hệ phương trình để tìm hai giao điểm.

Cách 2 (nâng cao): so sánh bình phương$d^2=29$với$36$và $4$, kết luận cắt nhau nhanh hơn.

6. Các biến thể thường gặp

- Cho phương trình tổng quát đường tròn: chuyển về dạng$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$trước.
- Bài toán tính tiếp điểm tiếp xúc.
- Xác định góc giữa hai đường tròn tại giao điểm.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

- Chọn sai điều kiện so sánh: nhầm$>$thành$\ge$.
- Quên xét trường hợp đồng tâm.
- Khắc phục: ghi rõ các điều kiện và vẽ hình minh họa.

7.2 Lỗi về tính toán

- Sai sót khi lấy căn.
- Nhầm dấu trong bình phương hiệu.
- Cách kiểm tra: dùng phương pháp bình phương, so sánh$d^2$thay vì $d$.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 42.226+ bài tập cách giải Vị trí tương đối của hai đường tròn miễn phí, không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức. Theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng giải toán.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

- Tuần 1: Ôn công thức và giải 10 bài cơ bản.
- Tuần 2: Luyện 10 bài nâng cao, thử phương pháp bình phương.
- Tuần 3: Ôn lại biến thể, kiểm tra bản thân qua đề tổng hợp.
- Đánh giá: chấm chéo lời giải, ghi nhật ký lỗi để khắc phục.