Cạnh đối với góc nhọn – Giải thích chi tiết và bài tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, khái niệm "cạnh đối với góc nhọn" là một phần quan trọng của hình học tam giác vuông. Việc nắm vững khái niệm này giúp học sinh hiểu sâu hơn về các quan hệ hình học và lượng giác cơ bản.

Hiểu rõ "cạnh đối với góc nhọn" giúp các em giải quyết các bài toán về tính độ dài các cạnh, áp dụng vào thực tế và phát triển tư duy logic.

Trong đời sống, kiến thức này được ứng dụng để đo đạc, xây dựng, thiết kế… ví dụ: tính chiều cao tòa nhà, góc nghiêng mái nhà hoặc xác định độ dốc đường giao thông.

Cơ hội luyện tập miễn phí với 50+ bài tập Cạnh đối với góc nhọn giúp các em củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Trong tam giác vuông, cạnh đối với góc nhọn là cạnh nằm phía đối diện với góc đó.

- Tính chất: Chỉ tồn tại trong tam giác vuông. Độ dài cạnh đối thay đổi khi góc nhọn thay đổi.

- Điều kiện áp dụng: Phải xác định đúng tam giác vuông và góc nhọn cần xét.

2.2 Công thức và quy tắc

Các công thức cơ bản trong tam giác vuông với góc nhọn$\alpha$và cạnh huyền$c$, cạnh đối$a$, cạnh kề $b$:

$a = c\sin \alpha$

$b = c\cos \alpha$

$a = b\tan \alpha$

$b = a\cot \alpha$

Cách ghi nhớ nhanh: “SIN – đối trên huyền, COS – kề trên huyền, TAN – đối trên kề”.

Điều kiện sử dụng: Góc$\alpha$phải là góc nhọn ($0^\circ<\alpha<90^\circ$), tam giác phải vuông.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Cho tam giác$ABC$vuông tại$A$, biết$\widehat{B}=30^\circ$và cạnh huyền$BC=10$cm. Tính cạnh đối với góc$B$.

Lời giải:

Trong tam giác vuông, cạnh đối với góc$B$là $AC$. Áp dụng công thức:

$AC = BC \times \sin B = 10 \times \sin 30^\circ = 10 \times \tfrac12 = 5\text{cm}.$

Lưu ý: Luôn xác định đúng cạnh đối, cạnh kề và huyền trước khi áp dụng công thức.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Cho tam giác$PQR$vuông tại$Q$, biết cạnh kề với góc$P$là $QR=8$cm và $\widehat{P}=37^\circ$. Tính cạnh đối với góc$P$.

Lời giải:

Cạnh đối với góc$P$ký hiệu là $PR$. Dùng công thức tan:

$\tan P = \frac{PR}{QR} \implies PR = QR \times \tan P = 8 \times \tan 37^\circ \approx 8 \times 0.7536 \approx 6.03\text{cm}.$

Kỹ thuật kiểm tra: Có thể dùng $PR = PQ\sin P$hoặc$PR = c\sin P$ nếu biết cạnh huyền.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Góc nhọn $45^\circ$: Trong tam giác vuông cân, cạnh đối = cạnh kề = $\tfrac{c}{\sqrt2}$.

- Khi góc$\alpha$rất nhỏ, cạnh đối rất nhỏ so với huyền.

- Liên hệ với các khái niệm khác: cạnh kề, huyền, sin, cos, tan trong tam giác vuông.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn cạnh đối và cạnh kề: Luôn vẽ hình và ký hiệu rõ ràng.

- Hiểu sai định nghĩa: Cạnh đối luôn nằm đối diện với góc nhọn cần xét.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên để máy tính ở độ (DEG) khi tính sin, cos, tan độ.

- Nhầm sin thành cos hoặc ngược lại: Kiểm tra lại bằng cách so sánh kết quả với độ dài huyền.

- Phương pháp kiểm tra: Kết quả cạnh đối < cạnh kề < huyền.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 50+ bài tập Cạnh đối với góc nhọn miễn phí ngay tại hệ thống Toán 9 online. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập và theo dõi tiến độ để cải thiện kỹ năng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Định nghĩa: Cạnh đối nằm đối diện với góc nhọn trong tam giác vuông.

- Công thức chính: $a=c\sin \alpha,\;a=b\tan \alpha.$

- Checklist trước khi giải bài:

• Xác định góc nhọn cần xét

• Xác định đúng cạnh đối, cạnh kề và huyền

• Chọn công thức phù hợp và kiểm tra kết quả

Kế hoạch ôn tập: Dành 10 phút mỗi ngày luyện các dạng bài về cạnh đối để ghi nhớ nhanh và bền vững.