1. Giới thiệu về khái niệm "cạnh kề với góc nhọn" và tầm quan trọng trong Toán 9

Trong chương trình Toán lớp 9, đặc biệt ở chủ đề Hình học về tam giác vuông, khái niệm "cạnh kề với góc nhọn" là một phần cốt lõi giúp học sinh hiểu và vận dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông. Đây là nền tảng để học nội dung lượng giác sau này, đồng thời thường xuyên xuất hiện trong các bài toán từ cơ bản đến nâng cao. Việc nắm vững và phân biệt đúng "cạnh kề với góc nhọn" sẽ giúp các em tránh được nhầm lẫn khi tính toán cũng như giải thích các bài toán một cách chính xác.

2. Định nghĩa chính xác "cạnh kề với góc nhọn"

Trong một tam giác vuông, mỗi góc nhọn luôn tạo bởi hai cạnh: một cạnh là cạnh góc vuông ("chân" của góc vuông), còn cạnh còn lại là cạnh huyền. "Cạnh kề với góc nhọn" là cạnh góc vuông nằm sát với góc nhọn đó (tức là cạnh có điểm đầu và điểm cuối trùng với đỉnh góc nhọn và đỉnh góc vuông). Cạnh còn lại của góc nhọn là cạnh đối diện (cạnh đối với góc đó), còn cạnh dài nhất là cạnh huyền (đối diện góc vuông).

Kí hiệu tổng quát:
- Trong tam giác vuông$ABC$, với góc vuông tại$A$, thì hai góc nhọn là $B$và $C$.
- Với góc nhọn$B$, cạnh kề với góc$B$là $AB$.
- Với góc nhọn$C$, cạnh kề với góc$C$là $AC$.
Như vậy: "Cạnh kề với góc nhọn" luôn là một trong hai cạnh góc vuông sẽ tạo thành góc đó.

3. Giải thích chi tiết bằng ví dụ minh họa

Xét tam giác vuông$ABC$, vuông tại$A$($\angle A = 90^\circ$). Khi đó:

• Hai cạnh$AB$và $AC$là hai cạnh góc vuông.
• Cạnh$BC$là cạnh huyền.

- Đối với góc nhọn$B$, hai cạnh tạo nên góc này là $AB$và $BC$:

• $AB$là cạnh kề với góc$B$(cạnh góc vuông sát góc$B$).
• $AC$là cạnh đối với góc$B$(vì nằm đối diện với đỉnh$B$).
• $BC$là cạnh huyền (không phải là cạnh kề với góc nhọn).

Tương tự, đối với góc nhọn$C$:

• Cạnh kề với góc$C$là $AC$(cạnh góc vuông xuất phát từ đỉnh$C$).
• Cạnh đối với góc$C$là $AB$.
• Cạnh huyền là $BC$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

- Chỉ trong tam giác vuông, khái niệm "cạnh kề với góc nhọn" mới được xác định rõ ràng giữa các cạnh góc vuông.
- Không nhầm lẫn giữa "cạnh kề" và "cạnh huyền": Cạnh huyền không bao giờ là cạnh kề với góc nhọn.
- Khi thay đổi tên các đỉnh hoặc thứ tự ký hiệu, cần luôn xác định đỉnh góc vuông và các góc nhọn trước, sau đó mới xét tới cạnh kề tương ứng.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Cạnh kề với góc nhọn dùng để tính các tỉ số lượng giác (như \cos , \tan ) trong tam giác vuông:
- \cos(\theta) = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}
- \tan(\theta) = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}}
- Là cơ sở cho hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông trong Toán 9.
- Làm tiền đề để học về lượng giác ở các lớp trên.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Trong tam giác vuông$ABC$tại$A$, biết$AB = 6~cm$,$AC = 8~cm$. Hãy xác định cạnh kề với góc$B$và cạnh kề với góc$C$?

Lời giải:
- Góc vuông là $A$, hai góc nhọn là $B$và $C$.
- Cạnh kề với góc$B$là $AB = 6~cm$.
- Cạnh kề với góc$C$là $AC = 8~cm$.

Ví dụ 2: Cho tam giác$DEF$vuông tại$E$,$DE = 3~cm$,$EF = 4~cm$. Tìm cạnh kề với góc$D$và giải thích?

Lời giải:
- Cạnh vuông$DE$và $EF$.
- Góc$D$là góc nhọn tạo bởi$DE$và $DF$.
- Cạnh kề với góc$D$là $DE = 3~cm$(vì đó là cạnh góc vuông xuất phát từ đỉnh$D$).

Ví dụ 3: Trong tam giác vuông$XYZ$tại$Y$, hai cạnh góc vuông$XY = 12~cm$,$YZ = 5~cm$. Hỏi: Đối với góc$X$, cạnh nào là cạnh kề; đối với góc$Z$, cạnh nào là cạnh kề?

Lời giải:
- Góc vuông tại$Y$, nên hai góc nhọn là $X$và $Z$.
- Đối với góc$X$, cạnh kề là $XY = 12~cm$.
- Đối với góc$Z$, cạnh kề là $YZ = 5~cm$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm giữa cạnh kề và cạnh huyền: Hãy nhớ cạnh huyền là cạnh dài nhất, không làm cạnh kề với bất kỳ góc nhọn nào.
• Không xác định đúng góc đang xét: Phải xác định rõ đang nói đến cạnh kề với góc nào.
• Nhầm lẫn tên gọi cạnh khi ký hiệu tam giác không thống nhất.

Cách tránh: Luôn vẽ hình, xác định rõ các đỉnh, góc vuông và các góc nhọn trước khi xét tới cạnh kề. Khi làm bài luôn ghi rõ cạnh kề với từng góc nhọn là cạnh nào.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- "Cạnh kề với góc nhọn" trong tam giác vuông chính là một cạnh góc vuông cạnh sát với góc nhọn đó.
- Luôn xác định đỉnh góc vuông trước, từ đó xác định hai góc nhọn còn lại.
- Chỉ có cạnh góc vuông mới là cạnh kề với góc nhọn.
- Biết xác định đúng "cạnh kề với góc nhọn" giúp vận dụng dễ dàng vào các hệ thức trong tam giác vuông và làm nền tảng cho lượng giác sau này.

9. Các bài tập tự luyện (gợi ý không giải)

Bài 1: Cho tam giác vuông$MNP$tại$N$, biết$MN = 7~cm$,$NP = 24~cm$. Hãy xác định cạnh kề với mỗi góc nhọn$M$và $P$.

Bài 2: Trong tam giác vuông$ABC$vuông tại$C$, biết$AB = 13~cm$,$AC = 5~cm$. Cạnh kề với góc$A$là cạnh nào?