Blog

Lớp 9

Chiến lược giải bài toán Diện tích và Thể tích hình nón lớp 9: Hướng dẫn từ A đến Z

T
Tác giả
•
•8 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán Diện tích và Thể tích hình nón

Trong chương trình Toán lớp 9, chủ đề hình học không gian đóng vai trò quan trọng, đặc biệt là kiểu bài liên quan đến diện tích và thể tích hình nón. Đây là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra, thi cuối kỳ và là nền tảng cho các chủ đề hình học nâng cao sau này. Việc thành thạo cách giải bài toán diện tích và thể tích hình nón giúp học sinh phát triển tư duy không gian, tính toán chính xác và ứng dụng thực tế vào cuộc sống.

2. Đặc điểm của bài toán diện tích, thể tích hình nón

  • Các thông số thường gặp: Bán kính đáy (rr), đường sinh (ll), chiều cao (hh), diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích.
  • Bài toán yêu cầu xác định đại lượng này khi biết hoặc gián tiếp biết các đại lượng khác.
  • Có nhiều bài tập kết hợp giải tam giác vuông, tìm cạnh chưa biết dựa vàorr,hh,ll.

    • Phân tích chính xác các yếu tố đã cho và cần tìm là chìa khóa để giải quyết tốt loại bài này.

    3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán diện tích, thể tích hình nón

  • Bước 1: Đọc kỹ đề bài, xác định thông số đã biết và yêu cầu cần tìm.
  • Bước 2: Vẽ hình minh họa, ký hiệu rõ ràng các đại lượng.
  • Bước 3: Xác định các công thức liên quan và viết ra giấy.
  • Bước 4: Chuyển đổi hoặc tính các đại lượng cần thiết (ví dụ: tính lltừ rrvà hhbằng định lý Pythagoras:l=r2+h2l = \sqrt{r^2 + h^2} ).
  • Bước 5: Thay số vào công thức, tính toán cẩn thận.
  • Bước 6: Đáp số kiểm tra đơn vị và tính hợp lý.

    • 4. Các bước giải bài toán với ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón

    Cho hình nón có bán kính đáyr=3 cmr = 3\ \text{cm}, chiều caoh=4 cmh = 4\ \text{cm}. Hãy tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón.

  • a) Tính đường sinh ll:

    Áp dụng định lý Pythagoras:
    l=r2+h2=32+42=9+16=25=5 cml = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\ \text{cm}
  • b) Diện tích xung quanhSxqS_{xq}:

    Sxq=πrl=π×3×5=15π cm2S_{xq} = \pi r l = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi\ \text{cm}^2
  • c) Diện tích toàn phầnStpS_{tp}:

    Stp=Sxq+Sđaˊy=15π+πr2=15π+9π=24π cm2S_{tp} = S_{xq} + S_{đáy} = 15\pi + \pi r^2 = 15\pi + 9\pi = 24\pi\ \text{cm}^2
  • d) Thể tíchVV:

    V=13πr2h=13π×9×4=13π×36=12π cm3V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 9 \times 4 = \frac{1}{3} \pi \times 36 = 12\pi\ \text{cm}^3

    • Ví dụ 2: Cho đường sinh và bán kính, tính chiều cao và các đại lượng khác

    Cho hình nón có bán kính đáyr=5 cmr = 5\ \text{cm}, đường sinhl=13 cml = 13\ \text{cm}. Tính chiều caohh, diện tích xung quanh và thể tích hình nón.

  • a) Tính chiều cao hh:
    l2=r2+h2⇒h2=l2−r2⇒h=l2−r2=169−25=144=12 cml^2 = r^2 + h^2 \Rightarrow h^2 = l^2 - r^2 \Rightarrow h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\ \text{cm}
  • b) Diện tích xung quanh:
    Sxq=πrl=π×5×13=65π cm2S_{xq} = \pi r l = \pi \times 5 \times 13 = 65\pi\ \text{cm}^2
  • c) Thể tích:
    V=13πr2h=13π×25×12=13π×300=100π cm3V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 25 \times 12 = \frac{1}{3} \pi \times 300 = 100\pi\ \text{cm}^3

    • 5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Đường sinh l=r2+h2l = \sqrt{r^2 + h^2}
  • Diện tích xung quanh:Sxq=πrlS_{xq} = \pi r l
  • Diện tích đáy:Sđaˊy=πr2S_{đáy} = \pi r^2
  • Diện tích toàn phần:Stp=Sxq+SđaˊyS_{tp} = S_{xq} + S_{đáy}
  • Thể tích:V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h

    • 6. Các biến thể của bài toán và cách ứng phó

  • Bài toán không cho trực tiếp chiều cao, đường sinh hoặc bán kính mà phải suy luận từ các dữ kiện phụ (chu vi đáy, diện tích đáy, diện tích xung quanh, tỉ số các cạnh,...).
  • Bài toán hình nón cụt: Cần tách bài toán thành hai hình nón, áp dụng công thức riêng.
  • Bài toán thực tế: Tính diện tích, thể tích vật dụng như ly, phễu, tòa nhà,...

    • Chiến lược chung là phân tích dữ kiện, chuyển đổi dữ liệu về các ký hiệu quen thuộc (r,h,lr, h, l), sau đó áp dụng các công thức cơ bản.

    7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

    Bài tập mẫu 1: Một hình nón có đường tròn đáy bán kính6 cm6\ \text{cm}, chiều cao8 cm8\ \text{cm}. Tìm diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích.

  • Bước 1: Tính đường sinh ll:
    l=r2+h2=62+82=36+64=100=10 cml = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\ \text{cm}
  • Bước 2: Tính diện tích xung quanh:
    Sxq=πrl=π×6×10=60π cm2S_{xq} = \pi r l = \pi \times 6 \times 10 = 60\pi\ \text{cm}^2
  • Bước 3: Tính diện tích toàn phần:
    Stp=Sxq+Sđaˊy=60π+36π=96π cm2S_{tp} = S_{xq} + S_{đáy} = 60\pi + 36\pi = 96\pi\ \text{cm}^2
  • Bước 4: Tính thể tích:
    V=13πr2h=13π×36×8=13π×288=96π cm3V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \times 36 \times 8 = \frac{1}{3}\pi \times 288 = 96\pi\ \text{cm}^3

    • Bài tập mẫu 2: Cho hình nón có diện tích xung quanh94.2 cm294.2\ \text{cm}^2, đường sinhl=15 cml = 15\ \text{cm}. Tính bán kính đáy, diện tích toàn phần, thể tích (làm tròn 1 chữ số thập phân).

  • Bước 1: Tính bán kínhrrtừ Sxq=πrlS_{xq} = \pi r l
    r=Sxqπl=94.23.14×15≈94.247.1≈2 cmr = \frac{S_{xq}}{\pi l} = \frac{94.2}{3.14 \times 15} \approx \frac{94.2}{47.1} \approx 2\ \text{cm}
  • Bước 2: Diện tích toàn phần:
    Stp=Sxq+Sđaˊy=94.2+π×22=94.2+12.56=106.76 cm2S_{tp} = S_{xq} + S_{đáy} = 94.2 + \pi \times 2^2 = 94.2 + 12.56 = 106.76\ \text{cm}^2
  • Bước 3: Tính chiều cao từ l2=r2+h2l^2 = r^2 + h^2:
    h=l2−r2=225−4=221≈14.9 cmh = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{225 - 4} = \sqrt{221} \approx 14.9\ \text{cm}
  • Bước 4: Tính thể tích
    V=13πr2h=13π×4×14.9≈13×3.14×59.6≈62.5 cm3V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \times 4 \times 14.9 \approx \frac{1}{3} \times 3.14 \times 59.6 \approx 62.5\ \text{cm}^3

    • 8. Bài tập thực hành

    Hãy luyện tập các bài sau, vận dụng đúng chiến lược giải:

  • Bài 1: Một hình nón có bán kínhr=8 cmr = 8\ \text{cm}, chiều caoh=15 cmh = 15\ \text{cm}. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích.
  • Bài 2: Cho hình nón có đường sinhl=17 cml = 17\ \text{cm}, bán kính đáyr=8 cmr = 8\ \text{cm}. Tính chiều cao, diện tích đáy và thể tích hình nón.
  • Bài 3: Một hình nón có diện tích xung quanh188.4 cm2188.4\ \text{cm}^2, đường sinhl=12 cml = 12\ \text{cm}. Tính bán kính đáy, diện tích toàn phần và thể tích (làm tròn đến 2 chữ số thập phân).
  • Bài 4: Một cái tháp nước hình nón có chiều caoh=20 mh = 20\ \text{m}và bán kính đáyr=9 mr = 9\ \text{m}. Tính thể tích tháp nước. Nếu tháp chứa đầy nước, số lít nước trong tháp là bao nhiêu? (Biết1 m3=10001\ \text{m}^3 = 1000lít)

    • Các bài này nên giải chi tiết, trình bày từng bước rõ ràng như các ví dụ đã hướng dẫn phía trên.

    9. Mẹo hay và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

  • Luôn vẽ hình, ký hiệu rõ các thông số.
  • Nhớ kiểm tra đơn vị các kết quả (cm, m, cm^2, m^2, cm^3, m^3).
  • Trước khi thay số vào công thức phải đảm bảo các đơn vị đồng nhất (không nên trộn cm với m).
  • Viết đầy đủ các bước tính toán, trình bày logic, dễ cho thầy/cô chấm bài.
  • Nếu gặp số lẻ, hãy làm tròn kết quả theo yêu cầu bài toán, ghi chú rõ cách làm tròn.
  • Cẩn thận với các biến thể: Nếu là hình nón cụt, thì phải trừ thể tích hoặc diện tích hai hình nón.

    • Luyện tập thường xuyên, kiểm tra đáp số, nhớ lại các công thức chính là bí quyết chinh phục chuyên đề này. Chúc bạn học tốt!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".