Chiến lược giải bài toán về Định nghĩa hình vành khuyên lớp 9 – Hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa

1. Giới thiệu về bài toán hình vành khuyên và vai trò trong chương trình Toán 9

Bài toán về hình vành khuyên là dạng toán thuộc chương trình hình học lớp 9, góp phần phát triển tư duy phân tích hình học và kỹ năng áp dụng các công thức tính diện tích, chu vi vào các trường hợp phức tạp hơn. Loại toán này không chỉ quan trọng trong môn Toán mà còn giúp học sinh liên hệ kiến thức với thực tiễn (tính diện tích các vật hình khuyên như bánh xe, vòng tròn đồng hồ...).

2. Phân tích đặc điểm của bài toán hình vành khuyên

Hình vành khuyên là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm, có bán kính ngoài là $R$và bán kính trong là $r$($R > r$). Đặc điểm nhận dạng: bài toán thường mô tả phần tô màu giữa hai đường tròn, hoặc yêu cầu tính diện tích, chu vi của phần vành khuyên dựa vào các dữ kiện cho biết như bán kính, chu vi, diện tích hoặc đoạn thẳng cắt qua vành khuyên.

3. Chiến lược tổng thể khi tiếp cận dạng toán này

• Xác định rõ hai đường tròn đồng tâm, nhận diện bán kính lớn ($R$) và bán kính nhỏ ($r$).
• Vẽ hình minh họa rõ ràng để phân biệt các phần.
• Ghi nhớ và áp dụng các công thức then chốt về diện tích, chu vi.
• Nếu bài toán cho các đại lượng “gián tiếp” (ví dụ biết chu vi, diện tích từng vòng tròn hoặc chiều rộng dải vành khuyên), cần tìm liên hệ giữa các yếu tố đó.

4. Các bước giải chi tiết cùng ví dụ minh họa

Giả sử đề bài: 'Cho hai đường tròn đồng tâm$(O)$có bán kính$R = 5$cm,$r = 3$cm. Tính diện tích và chu vi hình vành khuyên được tạo thành.'

• Bước 1: Nhận diện yếu tố cho trước và yêu cầu bài toán.
• Bước 2: Vẽ hình (một đường tròn lớn tâm$O$bán kính$R$, một đường tròn nhỏ tâm$O$bán kính$r$nằm trong).
• Bước 3: Áp dụng công thức diện tích vành khuyên:

Diện tích hình vành khuyên: 

S = S_{lớn} – S_{nhỏ} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2)

Thay số: S = \pi (5^2 – 3^2) = \pi (25 – 9) = 16\pi (cm^2)

Chu vi hình vành khuyên: 

C = C_{lớn} + C_{nhỏ} = 2\pi R + 2\pi r = 2\pi (R + r)

Thay số: C = 2\pi (5 + 3) = 16\pi (cm)

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Diện tích hình tròn bán kính$R$:$S = \pi R^2$
- Chu vi hình tròn bán kính$R$:$C = 2\pi R$
- Diện tích vành khuyên:$S_{vk} = \pi (R^2 - r^2)$
- Chu vi vành khuyên:$C_{vk} = 2\pi (R + r)$
- Nếu biết chiều rộng dải vành khuyên$d = R - r$, vận dụng$R = r + d$

6. Các biến thể thường gặp và cách điều chỉnh chiến lược

• Bài toán cho biết chiều rộng của vành khuyên ($d = R - r$), hoặc chỉ cho diện tích, chu vi một đường tròn, cần tìm đại lượng còn lại.
• Tính diện tích phần tô màu, phần còn lại khi có thêm hình khác (tam giác, hình vuông…) nằm trong hoặc ngoài vành khuyên.
• Bài toán ngược: biết diện tích vành khuyên, tìm$R$hoặc$r$.

Khi gặp biến thể, hãy chú ý diễn giải dữ liệu, thiết lập phương trình liên hệ giữa các đại lượng, sử dụng công thức tổng quát và giải phương trình tìm đại lượng chưa biết.

7. Bài tập mẫu giải chi tiết từng bước

Một hình vành khuyên có bán kính ngoài$R = 4$cm, bán kính trong$r = 2$cm. Tính diện tích và chu vi vành khuyên.

1. Bước 1: Xác định$R=4$cm,$r=2$cm. Vẽ hình, đánh dấu rõ.
2. Bước 2: Áp dụng công thức diện tích:
   
   $S = \pi (R^2 - r^2) = \pi (4^2 - 2^2) = \pi (16 - 4) = 12\pi (cm^2)$
3. Bước 3: Tính chu vi:
   
   $C = 2\pi (R + r) = 2\pi (4 + 2) = 12\pi (cm)$

8. Bài tập tự luyện

1. Cho hình vành khuyên có bán kính ngoài$R = 7$cm, bán kính trong$r = 5$cm. Tính diện tích và chu vi hình vành khuyên.
2. Một hình vành khuyên có diện tích$50\pi$cm$^2$, bán kính trong$r = 5$cm. Tìm bán kính ngoài$R$.
3. Biết chu vi hình vành khuyên là $40\pi$cm và bán kính ngoài$R = 15$cm. Tính bán kính trong$r$.
4. Một hình tròn có bán kính$8$cm, lấy một hình tròn nhỏ đồng tâm bán kính$3$cm ra khỏi hình lớn. Tính diện tích phần còn lại.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm thường gặp

• Luôn kiểm tra kỹ số liệu, không nhầm lẫn giữa$R$(bán kính lớn) và $r$(bán kính nhỏ).
• Diện tích vành khuyên không bao giờ âm, hãy kiểm tra kết quả hợp lý.
• Viết đúng công thức; nhớ lấy diện tích lớn trừ diện tích nhỏ.
• Nếu bài toán phức tạp, hãy tách nhỏ từng phần (vẽ hình, đánh dấu rõ ràng từng đối tượng).

Việc luyện tập thường xuyên các dạng bài về hình vành khuyên sẽ giúp các em thành thạo phương pháp và tự tin giải các bài toán tương tự.