Chiến lược giải quyết bài toán: Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông (Toán 9)

1. Giới thiệu về bài toán hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

Trong chương trình Toán lớp 9, Bài 2: Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông là một chủ đề quan trọng thuộc chương Hệ thức lượng trong tam giác vuông. Đây là nền tảng giúp học sinh làm quen với các kiến thức lượng giác sơ cấp, phát triển kỹ năng giải toán hình học, phục vụ cho các bài toán ứng dụng cả ở cấp THCS và chuẩn bị cho bậc học cao hơn.

Bài toán về hệ thức giữa cạnh và góc tam giác vuông giúp học sinh hiểu mối quan hệ giữa các cạnh và các góc, từ đó tính được cạnh hoặc góc còn thiếu dựa vào các dữ kiện đã cho. Đây cũng là kiến thức nền để học sinh tiếp cận chương trình lượng giác lớp 10.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

• Dữ kiện thường cho: Tam giác vuông, các cạnh hoặc các góc (hoặc cả hai), yêu cầu tìm cạnh hoặc góc còn thiếu.
• Có thể yêu cầu chứng minh, tính toán hoặc thiết lập công thức.
• Vận dụng các hệ thức lượng giác căn bản (sin, cos, tan, cotan) để giải quyết.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải hiệu quả các bài toán về hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, bạn nên áp dụng các bước chiến lược sau:

• Vẽ hình minh họa rõ ràng, đánh dấu các cạnh và góc để dễ phân tích.
• Xác định rõ các dữ kiện đã cho và các giá trị cần tìm.
• Nhận diện mối liên hệ giữa cạnh và góc thông qua công thức lượng giác thích hợp.
• Thay số vào công thức và giải phương trình (nếu cần).
• Đáp số rõ ràng, có đơn vị (nếu có).

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Xét tam giác vuông$ABC$, vuông tại$A$, với các cạnh$AB$,$AC$là các cạnh góc vuông,$BC$là cạnh huyền. Gọi$\alpha$là góc$ABC$.

• Bước 1: Vẽ hình, đánh dấu các ký hiệu, các cạnh và góc liên quan.
• Bước 2: Xác định bài toán yêu cầu tìm gì (cạnh, góc, diện tích,...)
• Bước 3: Chọn công thức lượng giác phù hợp:

+ Nếu biết một cạnh và một góc, dùng công thức lượng giác (sin, cos, tan) để tìm cạnh/góc còn lại.

+ Nếu biết hai cạnh, có thể tính góc bằng các công thức và bảng lượng giác/calc.

Ví dụ minh họa:

Cho tam giác vuông$ABC$tại$A$,$AB = 3$cm,$AC = 4$cm. Tính độ dài cạnh$BC$và các góc còn lại của tam giác.

- Đầu tiên, tính cạnh huyền bằng định lý Pytago:

- Tính góc$ABC$($\alpha$):

Tra bảng hoặc dùng máy tính:$\alpha \approx 53{,}13^\circ$.

- Góc còn lại tại$C$:

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Trong tam giác vuông có góc nhọn$\alpha$:

+ $\sin \alpha = \frac{cạnh \, đối}{cạnh \, huyền}$

+ \cos \alpha = \frac{cạnh \, kề}{cạnh \, huyền}

+ \tan \alpha = \frac{cạnh \, đối}{cạnh \, kề}

+ \cot \alpha = \frac{cạnh \, kề}{cạnh \, đối}

Các hệ thức khác:

• $a = b \sin C = c \sin B = b \cos B = c \cos C$, tuỳ theo ký hiệu cạnh/góc đúng.
• Áp dụng định lý Pytago:$c^2 = a^2 + b^2$.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số dạng biến thể:

• Chỉ cho biết một cạnh và một góc.
• Biết hai cạnh, tính góc.
• Biết cạnh huyền và một cạnh góc vuông.

Tùy dạng bài mà áp dụng công thức, giải phương trình phù hợp như đã trình bày ở trên.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Cho tam giác vuông$ABC$tại$A$,\beta = 30^,$BC = 10$cm. Tính$AB$và $AC$.

Lời giải:

• Ta có:$\beta = \angle ABC = 30^\circ$,$BC$là cạnh huyền.
• Áp dụng: $\sin 30^\circ = \frac{AC}{BC} \Rightarrow AC = BC \cdot \sin 30^\circ = 10 \cdot 0,5 = 5$ cm.
• $\cos 30^\circ = \frac{AB}{BC} \Rightarrow AB = BC \cdot \cos 30^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8,66$ cm.

8. Một số bài tập thực hành

• Bài 1: Tam giác vuông$DEF$vuông tại$E$,$DE = 6$cm,$DF = 10$cm. Tính góc$DEF$.
• Bài 2: Cho tam giác vuông$MNP$tại$N$,$MN = 7$cm,$\angle M = 40^\circ$. Tính$NP$và $MP$.
• Bài 3: Một cái thang dài 5 m tựa vào tường tạo với mặt đất góc$60^\circ$. Hỏi chân thang cách tường bao nhiêu mét? Đỉnh thang cao cách mặt đất bao nhiêu mét?

9. Mẹo và lưu ý khi làm bài

• Luôn vẽ hình cẩn thận và ghi rõ ký hiệu các cạnh, góc.
• Xác định chính xác cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền so với góc đang xét.
• Kiểm tra điều kiện dữ kiện phù hợp với tam giác vuông.
• Chú ý đơn vị đo lường và làm tròn số hợp lý khi tính toán góc.
• Áp dụng đúng công thức lượng giác, cẩn thận khi chuyển đổi giữa sin, cos, tan.

Hy vọng với chiến lược trên, các bạn sẽ giải thành thạo các dạng bài toán về hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông trong chương trình Toán lớp 9!