Chiến lược giải bài toán Hữu tỷ hóa mẫu thức cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về bài toán Hữu tỷ hóa mẫu thức

Bài toán hữu tỷ hóa mẫu thức là dạng toán yêu cầu biến đổi một biểu thức chứa căn thức ở mẫu số thành một biểu thức tương đương mà mẫu không còn chứa căn thức nữa. Kỹ năng này không chỉ cần thiết trong chương trình Toán lớp 9 mà còn có nhiều ứng dụng trong giải phương trình, bất phương trình, tính giá trị biểu thức, cũng như khi học lên các lớp cao hơn.

2. Đặc điểm của bài toán hữu tỷ hóa mẫu thức

• Mẫu số chứa căn bậc hai (hoặc nhiều căn), có thể là số đơn, tổng hoặc hiệu liên quan tới căn.
• Biểu thức thường ở dạng phân số:$\dfrac{A}{B}$, trong đó $B$chứa căn.
• Kỹ thuật biến đổi trọng tâm là loại bỏ dấu căn dưới mẫu (chỉ giữ ở tử nếu cần).

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận dạng bài này

Để giải quyết các bài toán hữu tỷ hóa mẫu thức, học sinh cần nắm vững các công thức liên quan đến biến đổi căn thức, đặc biệt là với mẫu số dạng $\sqrt{a}$hoặc$a + \sqrt{b}$. Chiến lược bao gồm:

• Nhận diện mẫu thức chứa căn.
• Chọn nhân tử thích hợp để nhân cả tử và mẫu, làm mất dấu căn ở mẫu.
• Rút gọn kết quả (nếu cần).

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Cùng xét một số dạng thường gặp và ví dụ cụ thể:

a) Mẫu chứa căn đơn: $\sqrt{a}$

Ví dụ 1: Hữu tỷ hóa mẫu thức $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

1. Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{3}$:
2. $\dfrac{1}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

b) Mẫu là tổng hoặc hiệu hai số, trong đó có căn: $a + \sqrt{b}$hoặc$a - \sqrt{b}$

Phương pháp: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu ($a - \sqrt{b}$với mẫu là $a + \sqrt{b}$ và ngược lại).

Ví dụ 2: Hữu tỷ hóa mẫu thức $\dfrac{1}{2 + \sqrt{3}}$.

1. Nhân cả tử và mẫu với $2 - \sqrt{3}$(biểu thức liên hợp của$2 + \sqrt{3}$):
2. $\dfrac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \dfrac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}$
3. Tính mẫu: $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$
4. Kết quả: $2 - \sqrt{3}$

c) Mẫu số là tích các căn hoặc biểu thức phức tạp:

Khi mẫu là tích, áp dụng hữu tỷ hóa từng phần hoặc nhân với mẫu tối ưu. Ví dụ:

Ví dụ 3: Hữu tỷ hóa mẫu $\dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{3}}$.

1. Biến đổi mẫu số: $\sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{6}$
2. Nhân tử và mẫu với $\sqrt{6}$:
3. $\dfrac{1}{\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{6}$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Nhân liên hợp: $(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b$
• Phép nhân căn thức: $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
• Biến đổi căn bậc hai: $\dfrac{a}{\sqrt{b}} = \dfrac{a\sqrt{b}}{b}$
• Đối với mẫu là tổng, hiệu hai căn: áp dụng nhân liện hợp.

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

Có thể gặp mẫu phức tạp như $a + b\sqrt{c}$, $\sqrt{a} + \sqrt{b}$, hoặc các mẫu số nhiều hạng chứa căn. Cần lựa chọn đúng biểu thức để nhân như bài đã hướng dẫn và quan sát kỹ để chọn nhân với liên hợp hoặc từng nhân tử một.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

- Cho biểu thức $A = \dfrac{2}{3 - \sqrt{5}}$

1. Mẫu số là $3 - \sqrt{5}$, liên hợp là $3 + \sqrt{5}$
2. Nhân tử và mẫu với $3 + \sqrt{5}$:
3. $A = \dfrac{2}{3 - \sqrt{5}} \times \dfrac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \dfrac{2(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}$
4. Tính mẫu số: $(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$
5. Kết quả: $A = \dfrac{2(3 + \sqrt{5})}{4} = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}$

8. Bài tập thực hành

• Hữu tỷ hóa mẫu thức: $\dfrac{5}{2 - \sqrt{3}}$
• Hữu tỷ hóa mẫu thức: $\dfrac{1}{4 + \sqrt{5}}$
• Hữu tỷ hóa mẫu thức: $\dfrac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$
• Hữu tỷ hóa mẫu thức: $\dfrac{3}{2\sqrt{2}}$
• Hữu tỷ hóa mẫu thức: $\dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm

• Luôn kiểm tra lại phép nhân liên hợp: Đừng quên dạng hằng đẳng thức$A^2 - B^2$.
• Nhân cả tử và mẫu để biểu thức không đổi!
• Chú ý rút gọn phân số sau khi hữu tỷ hóa.
• Nếu mẫu có hệ số số, nên chia hệ số chung nếu thuận tiện.
• Không thực hiện lẫn lộn các bước, tránh nhân nhầm mẫu.