Chiến lược giải bài toán Thiết lập bảng tần số tương đối (Toán 9): Hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa

1. Giới thiệu về bài toán Thiết lập bảng tần số tương đối

Bảng tần số tương đối là công cụ cơ bản trong thống kê giúp chúng ta hiểu rõ hơn sự phân bố của dữ liệu. Các bài toán yêu cầu thiết lập bảng tần số tương đối thường xuất hiện trong chương trình Toán lớp 9 và là nền tảng quan trọng cho các bài toán phức tạp hơn về xác suất – thống kê cả trong học tập lẫn trong thực tiễn. Việc nắm vững cách giải bài toán thiết lập bảng tần số tương đối sẽ giúp học sinh không chỉ làm tốt các bài kiểm tra mà còn phát triển tư duy logic, khả năng xử lý số liệu và phân tích thông tin.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán thiết lập bảng tần số tương đối

Bài toán thường cho một dãy số liệu (dạng rời rạc hoặc ghép nhóm) và yêu cầu xác định tần số, sau đó là tần số tương đối cho từng giá trị hoặc lớp. Các đặc điểm tiêu biểu:

• Có bảng dãy số liệu hoặc số liệu cụ thể từng giá trị.
• Yêu cầu tính tần số ($n_i$) và tần số tương đối ($f_i$) cho từng nhóm.
• Có thể yêu cầu biểu diễn dưới dạng phần trăm hoặc số thập phân.
• Có thể yêu cầu kết luận hoặc lập thêm biểu đồ.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

• Bước 1: Đọc kỹ đề để xác định tập hợp giá trị/lớp cần thống kê.
• Bước 2: Thiết lập bảng gồm các cột: Giá trị (hoặc lớp), Tần số, Tần số tương đối.
• Bước 3: Đếm số lần xuất hiện (tần số) của từng giá trị/lớp.
• Bước 4: Tính tổng số phần tử $N$.
• Bước 5: Tính tần số tương đối bằng công thức$f_i = \frac{n_i}{N}$, chuyển đổi sang phần trăm nếu cần.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Cho bảng số liệu về điểm kiểm tra Toán của 20 học sinh: 7 7 8 6 5 8 7 9 7 8 6 7 6 8 8 6 7 7 8 10. Hãy lập bảng tần số tương đối (dưới dạng phần trăm) của các điểm.

- Bước 1: Các giá trị xuất hiện trong dãy số là: 5, 6, 7, 8, 9, 10.

- Bước 2: Lập bảng thống kê các cột: Giá trị, Tần số ($n_i$), Tần số tương đối ($f_i$).

- Bước 3: Đếm số lần xuất hiện của mỗi giá trị:

- 5 xuất hiện: 1 lần
- 6 xuất hiện: 4 lần
- 7 xuất hiện: 6 lần
- 8 xuất hiện: 5 lần
- 9 xuất hiện: 1 lần
- 10 xuất hiện: 1 lần

- Bước 4: Tổng số học sinh$N = 20$

- Bước 5: Tính tần số tương đối, với$f_i = \frac{n_i}{20}$, đổi ra % bằng nhân với 100.

| Giá trị ($x_i$) | Tần số ($n_i$) 
Tần số tương đối ($f_i$)
5
1 |$\frac{1}{20} \times 100=5\%$|
| 6 | 4 |$\frac{4}{20} \times 100=20\%$|
| 7 | 6 |$\frac{6}{20} \times 100=30\%$|
| 8 | 5 |$\frac{5}{20} \times 100=25\%$|
| 9 | 1 |$\frac{1}{20} \times 100=5\%$|
| 10 | 1 |$\frac{1}{20} \times 100=5\%$|

Chú ý: Tổng các tần số tương đối nên gần bằng 100% (nếu làm tròn số thì có thể dư, thiếu 1%).

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tần số của giá trị $x_i$:$n_i$
• Tổng số phần tử: $N = \sum n_i$
• Tần số tương đối:$f_i = \frac{n_i}{N}$hoặc$f_i = \frac{n_i}{N} \times 100\%$
• Kiểm tra tổng: $\sum f_i \approx 1$(nếu là số thập phân) hoặc$\approx 100\%$ (nếu là %)

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

- Số liệu ở dạng phân nhóm (lớp): Sử dụng đầu mút khoảng và đếm số liệu thuộc từng lớp.
- Không yêu cầu % mà là số thập phân: Đưa$f_i$về dạng thập phân, ví dụ $0.30$thay cho$30\%$.
- Yêu cầu biểu diễn bằng biểu đồ: Sử dụng tần số hoặc tần số tương đối để vẽ biểu đồ cột/đường.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập: Một lớp có 30 học sinh, điểm tiếng Anh của các em được phân nhóm như sau: 6-7 điểm: 8 học sinh, 8-9 điểm: 15 học sinh, 9-10 điểm: 7 học sinh. Hãy lập bảng tần số tương đối theo nhóm điểm dưới dạng phần trăm.

Giải:

1. Ghi các nhóm: 6-7, 8-9, 9-10.
2. Lấy tần số từng nhóm:$n_1=8$,$n_2=15$,$n_3=7$.
3. Tổng số:$N=30$.
4. Tính tần số tương đối:
   - 6-7:$f_1=\frac{8}{30} \times 100\% \approx 26,67\%$
   - 8-9:$f_2=\frac{15}{30} \times 100\%=50\%$
   - 9-10:$f_3=\frac{7}{30} \times 100\% \approx 23,33\%$

| Nhóm điểm | Số HS ($n_i$) 
Tần số tương đối ($f_i$)
6-7
8 |$26,67\%$|
| 8-9 | 15 |$50\%$|
| 9-10 | 7 |$23,33\%$|

8. Bài tập tự luyện

- Cho dãy số liệu: 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 6, 5, 7, 8, 6, 7, 5, 4. Lập bảng tần số tương đối dưới dạng phần trăm.
- Một lớp có số liệu phòng ban: A: 12 HS, B: 9 HS, C: 9 HS. Lập bảng tần số tương đối mỗi phòng dưới dạng số thập phân.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra tổng tần số tương đối phải gần 1 hoặc 100%.
• Chú ý làm tròn số thích hợp với bài yêu cầu.
• Không nhầm lẫn giữa giá trị/lớp và tần số.
• Nên ghi rõ dạng của tần số tương đối (phần trăm hoặc thập phân).
• Khi dữ liệu lớn, nên kiểm tra lại số lần đếm từng giá trị.

Hy vọng qua bài viết này, các em đã nắm vững cách giải bài toán thiết lập bảng tần số tương đối và tự tin giải được các dạng bài tương tự trong chương trình Toán lớp 9.