1. Giới thiệu về bài toán thực tiễn dùng phương trình bậc hai và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, dạng bài "giải bài toán thực tiễn bằng phương trình bậc hai" thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, thi cuối kỳ và tuyển sinh vào lớp 10. Đây là loại bài tập biến các tình huống thực tế (liên quan đến vận tốc, diện tích, quãng đường, thời gian, hình học, bài toán kinh tế,…) thành bài toán giải phương trình bậc hai. Việc thành thạo loại bài này giúp học sinh không chỉ làm tốt trong học tập mà còn phát triển kỹ năng tư duy logic và ứng dụng toán học vào đời sống.

2. Đặc điểm của bài toán thực tiễn sử dụng phương trình bậc hai

Bài toán thường mô tả một tình huống thực hoặc thực tế giả định, yêu cầu tìm giá trị của một đại lượng.

Luôn có bước chuyển đổi từ dữ liệu thực tế sang biểu thức hay phương trình toán học.

Biểu thức thiết lập được là phương trình bậc hai ẩn$x$:$ax^2 + bx + c = 0$.

Sau khi giải phương trình, cần kiểm tra nghiệm có thỏa mãn điều kiện thực tế không (chẳng hạn chỉ nhận nghiệm dương, hợp lý).

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận dạng bài này

Để giải hiệu quả dạng bài toán thực tiễn bằng phương trình bậc hai, học sinh cần áp dụng chiến lược hệ thống gồm các bước sau:

Đọc kỹ đề, xác định đại lượng cần tìm.

Đặt ẩn số (thường là $x$) biểu diễn đại lượng chưa biết.

Biểu diễn các đại lượng khác qua$x$dựa vào mối liên hệ đề cho.

Lập phương trình bậc hai dựa trên điều kiện toán học/tình huống.

Giải phương trình bậc hai, chọn nghiệm phù hợp với điều kiện thực tế.

Trả lời kết quả, kiểm tra tính hợp lý.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chu vi là $20\;cm$, biết rằng nếu tăng chiều rộng lên$2\;cm$và giảm chiều dài đi$2\;cm$thì diện tích không thay đổi. Tính kích thước ban đầu của hình chữ nhật?

Bước 1. Đặt ẩn và phân tích bài toán
Gọi chiều rộng ban đầu là $x (cm)$($x > 0$), chiều dài là $y (cm)$($y > x$)
Chu vi$20\;cm \Rightarrow 2(x+y)=20 \Rightarrow x+y=10$.

Bước 2. Biểu diễn các đại lượng qua$x$
$y = 10 - x$.

Bước 3. Biểu diễn điều kiện diện tích giữ nguyên:
$(x + 2)(y - 2) = xy$

Thay$y = 10 - x$vào:
$(x + 2)[(10 - x) - 2] = x(10 - x)$
$(x + 2)(8 - x) = 10x - x^2$
Khai triển:
$8x - x^2 + 16 - 2x = 10x - x^2$
$8x - x^2 + 16 - 2x = 10x - x^2$
$(8x - 2x) + 16 = 10x$
$6x + 16 = 10x$
$16 = 4x \Rightarrow x = 4$

Bước 4. Tính chiều dài:
$y = 10 - x = 10 - 4 = 6$
Vậy chiều rộng là $4cm$, chiều dài là $6cm$.

Kiểm tra lại: Chu vi$2(4+6)=20$(thỏa mãn). Nếu tăng chiều rộng lên$6$, giảm chiều dài còn$4$, diện tích là $6 \times 4 = 24$. Ban đầu$4 \times 6=24$. Thỏa mãn.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Công thức phương trình bậc hai: $ax^2 + bx + c = 0$
+ Công thức nghiệm: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

- Định lý Viète: Nếu phương trình$ax^2 + bx + c = 0$có hai nghiệm$x_1, x_2$thì $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$,$x_1x_2 = \frac{c}{a}$

- Biến đổi các đại lượng dựa vào các công thức quen thuộc:
+ Hình chữ nhật: Chu vi$2(x+y)$, diện tích$xy$
+ Chuyển động đều: Quãng đường$s = vt$,$v = \frac{s}{t}$,$t = \frac{s}{v}$
+ Hình học: Định lý Pitago$a^2 + b^2 = c^2$cho tam giác vuông.

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

Các bài toán thực tiễn bậc hai có thể biến đổi đa dạng về nội dung:
- Bài toán chuyển động (hai vật cùng xuất phát, vật đuổi kịp vật…)
- Tính chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật, hình vuông, hình tròn với điều kiện ràng buộc
- Bài toán tỉ lệ phần trăm, chia số tiền, tuổi tác, sản xuất, các bài toán liên quan đến năng suất, công việc

Cách điều chỉnh chiến lược:
- Phải chú ý đặt điều kiện cho nghiệm: ví dụ đại lượng không thể âm, các giá trị phân biệt dương...
- Chuyển đổi dữ kiện thực tế thành phương trình chuẩn xác là mấu chốt thành công.

7. Bài tập mẫu với lời giải từng bước

Bài tập: Một vườn hoa hình chữ nhật có diện tích$80m^2$. Nếu tăng chiều dài thêm$5m$, giảm chiều rộng đi$2m$thì diện tích không đổi. Tìm kích thước ban đầu của vườn hoa.

Bước 1: Gọi chiều dài ban đầu là $x (m)$, chiều rộng là $y (m)$
⇒$x \times y = 80$

Bước 2: Lập phương trình theo đề ra:
$(x+5)(y-2) = 80$

Phát triển và thay$y = \frac{80}{x}$vào:
$(x+5)\left(\frac{80}{x} - 2\right) = 80$
$\Rightarrow (x+5)\left(\frac{80-2x}{x}\right) = 80$
$\Rightarrow (x+5)(80-2x) = 80x$
$\Rightarrow 80x + 400 - 2x^2 - 10x = 80x$
$\Rightarrow 400 - 2x^2 - 10x = 0$
$\Rightarrow 2x^2 + 10x - 400 = 0$
$\Rightarrow x^2 + 5x - 200 = 0$

Bước 3: Giải phương trình $x^2 + 5x - 200 = 0$:
$\Delta = 5^2 - 4 \times 1 \times (-200) = 25 + 800 = 825$
$\sqrt{825} = 5\sqrt{33}$
$\Rightarrow x_1 = \frac{-5 + 5\sqrt{33}}{2}$, $x_2 = \frac{-5-5\sqrt{33}}{2}$
Vì $x > 0$, chỉ nhận $x_1 ≈ \frac{-5 + 28.7}{2} ≈ 11.85 (m)$
$y = \frac{80}{x} ≈ 6.75 (m)$
Vậy chiều dài khoảng $11.85m$, chiều rộng khoảng $6.75m$.

8. Bài tập thực hành cho học sinh

Một ô tô đi từ A đến B dài$120km$với vận tốc trung bình dự định là $40km/h$. Sau khi đi được$1/3$quãng đường, trời mưa nên vận tốc chỉ còn$30km/h$. Hỏi ô tô đến B chậm hơn bao nhiêu phút so với dự định?

Tìm hai số dương biết tổng của chúng bằng$20$và tổng bình phương của chúng bằng$218$.

Diện tích một hình chữ nhật là $60cm^2$. Nếu tăng chiều dài$2cm$và giảm chiều rộng$3cm$thì diện tích không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu.

9. Mẹo và lưu ý tránh các sai lầm phổ biến

Luôn đặt điều kiện cho ẩn số – không được nhận nghiệm âm nếu bài toán không cho phép.

Diễn đạt toán học các mối liên hệ thật cẩn thận, tránh nhầm lẫn các phép cộng-trừ hoặc đơn vị.

Giải xong luôn kiểm tra lại nghiệm trong dữ kiện thực tế.

Chưa chắc nghiệm nào cũng hợp lý: kiểm tra đầy đủ các trường hợp.

Kết luận: Với chiến lược hệ thống và luyện tập thường xuyên, học sinh sẽ nắm chắc "cách giải bài toán thực tiễn bằng phương trình bậc hai" và ứng dụng thành thạo trong học tập lẫn thực tiễn.

Chúc các bạn học tốt và thành công!