Cách giải bài toán tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau – Lý thuyết và ví dụ minh họa | Toán 9

1. Giới thiệu về bài toán tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài toán về tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau là một dạng bài hình học thường gặp trong chương trình toán lớp 9 – chủ đề Tiếp tuyến của đường tròn. Dạng bài này tập trung khai thác các tính chất hình học đặc trưng của tiếp tuyến đến đường tròn, vị trí tương đối, quan hệ khoảng cách, góc và tam giác tạo bởi hai tiếp tuyến. Việc nắm chắc cách giải bài toán tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau không chỉ giúp học sinh phát triển tư duy logic mà còn hỗ trợ giải nhanh các bài toán ôn tập và kiểm tra.

2. Đặc điểm nhận diện bài toán và ý nghĩa thực tiễn

Đặc điểm của các bài toán dạng này:

Thường cho trước một đường tròn $(O;R)$ và hai điểm $A, B$ nằm ngoài đường tròn sao cho $MA, MB$ là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm $M$ .
Yêu cầu chứng minh các đoạn tiếp tuyến bằng nhau ( $MA = MB$ );
Chứng minh các tam giác đồng dạng hoặc vuông;
Tính độ dài, góc, diện tích liên quan tới góc hoặc đoạn thẳng hình thành giữa tâm $O$ và tiếp tuyến.

Ý nghĩa thực tiễn: Dạng bài này giúp rèn luyện kỹ năng xác định vị trí các điểm liên quan đến đường tròn, áp dụng tính chất hình học để giải quyết các vấn đề tổng quát và áp dụng trong bài toán thực tiễn (xây dựng, kỹ thuật…).

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Đối với mỗi bài toán dạng này, hãy đi theo những bước chiến lược sau:

Vẽ hình chính xác, chú ý ký hiệu các điểm tiếp xúc, tâm, các đoạn nối cần thiết.
Ghi nhớ và áp dụng các tính chất cơ bản của tiếp tuyến (ví dụ: Tính bằng nhau của các đoạn tiếp tuyến xuất phát từ một điểm ngoài đường tròn).
Khai thác đồng dạng, vuông góc, tính chất đường nối tâm, hoặc các đường phụ cần thiết để hỗ trợ giải bài.
Lập luận dựa trên các định lý hình học cơ bản (định lý Pytago, hệ thức lượng, tính toán góc, đoạn thẳng…).
Kết thúc bằng việc trình bày lời giải rõ ràng, kiểm tra đáp số và trình bày các công thức sử dụng.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh hoạ

Ví dụ: Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn. Qua $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ đến đường tròn, $A, B$ là các tiếp điểm. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $M$ . Hãy chứng minh $MA = MB$ và các tia $OA, OB$ tạo với $OM$ các góc bằng nhau.

Hướng dẫn giải theo từng bước:

Vẽ hình, ký hiệu các điểm $A, B$ , kẻ các đoạn $OA, OB, OM$ , vẽ các tiếp tuyến $MA, MB$ .
Áp dụng tính chất: Hai tiếp tuyến $MA, MB$ kéo dài từ $M$ tới đường tròn $(O)$ , nên $MA = MB$ .
Tính góc giữa $OM$ và từng tiếp tuyến: Do tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm: $OA \perp MA$ , $OB \perp MB$ .
Bằng phương pháp hình học hoặc áp dụng tính chất tam giác, chứng minh $\widehat{OMA} = \widehat{OMB}$ (bằng nhau do hai tam giác $OMA$ và $OMB$ bằng nhau).

5. Công thức và kỹ thuật cần ghi nhớ

Tính bằng nhau của hai tiếp tuyến kéo từ một điểm ngoài đường tròn: Nếu $MA$ , $MB$ là hai tiếp tuyến từ $M$ đến $(O)$ thì $MA = MB$ .
Tính chất vuông góc: $OA \perp MA$ , $OB \perp MB$ .
Hệ thức lượng trong tam giác vuông: $OM^2 = OA \times OM$ , $MA^2 = OM^2 - OA^2$ .
Góc ở tâm liên quan đến tiếp tuyến: $\angle AOM = 90^\circ - \angle OMA$ .

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

Hình minh họa: Minh họa đường tròn (O; R) với R = 1 và điểm M bên ngoài cách O một khoảng d = 2.5, hai tiếp tuyến MA và MB tiếp xúc tại A, B, thể hiện MA = MB và hai góc ∠AOM, ∠BOM bằng nhau (ký hiệu α). — Minh họa đường tròn (O; R) với R = 1 và điểm M bên ngoài cách O một khoảng d = 2.5, hai tiếp tuyến MA và MB tiếp xúc tại A, B, thể hiện MA = MB và hai góc ∠AOM, ∠BOM bằng nhau (ký hiệu α).

Hình minh họa: Minh họa tam giác vuông OAM với OM = 5 cm và OA = 3 cm; áp dụng định lý Pytago <span class= — Minh họa tam giác vuông OAM với OM = 5 cm và OA = 3 cm; áp dụng định lý Pytago $MA^2 = OM^2 - OA^2 = 5^2 - 3^2 = 16$ và kết luận $MA = 4$ cm

Cho thêm yếu tố hình học: Đường thẳng đi qua $M$ cắt đường tròn ở $C$ , yêu cầu chứng minh tam giác $OMA$ vuông tại $A$ .
Tìm độ dài các cạnh của tứ giác $OMAB$ .
Tìm diện tích tam giác $OMA$ hoặc tứ giác liên quan.
Chứng minh các đường thẳng đồng quy, góc bằng nhau dựa trên tiếp tuyến.

Khi gặp biến thể, hãy bình tĩnh vẽ hình, xác định các đoạn, góc, đường bổ trợ và thử đưa các bài toán phụ về dạng cơ bản hai tiếp tuyến cắt nhau.

7. Bài tập mẫu giải chi tiết

Bài tập mẫu: Cho $(O;R)$ với $R = 3\ \text{cm}$ , $M$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OM = 5\ \text{cm}$ . Qua $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA$ , $MB$ tới đường tròn, $A, B$ là các tiếp điểm. Hãy tính $MA = MB$ .

Theo tính chất tiếp tuyến, $MA = MB$ .
Xét tam giác vuông $OMA$ tại $A$ (OA \perp MA) $MA^2 = OM^2 - OA^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$ \Rightarrow MA = \sqrt{16} = 4\ \text{cm}" data-math-type="inline"> $.</li><li>Áp dụng định lý Pytago: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>M</mi><msup><mi>A</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>O</mi><msup><mi>M</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mi>O</mi><msup><mi>A</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mn>5</mn><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><msup><mn>3</mn><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>25</mn><mo>−</mo><mn>9</mn><mo>=</mo><mn>16</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">MA^2 = OM^2 - OA^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16</annotation></semantics></math>MA2=OM2−OA2=52−32=25−9=16 \Rightarrow MA = \sqrt{16} = 4\ \text{cm}$

Vậy $MA = MB = 4\ \text{cm}$ .

8. Bài tập tự luyện

1. Cho đường tròn $(O;2\ \text{cm})$ , $M$ nằm ngoài đường tròn và $OM = 6\ \text{cm}$ . Qua $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA$ , $MB$ tới đường tròn, $A, B$ là tiếp điểm. Tính $MA$ .

2. Cho đường tròn $(O;3\ \text{cm})$ , từ điểm $M$ ngoài đường tròn sao cho $OM = 5\ \text{cm}$ . Qua $M$ kẻ tiếp tuyến $MA$ đến $(O)$ . Chứng minh tiếp tuyến $MA$ vuông góc với bán kính $OA$ tại $A$ .

3. Cho $(O;4\ \text{cm})$ và điểm $M$ ngoài $(O)$ sao cho $OM = 8\ \text{cm}$ . Kẻ hai tiếp tuyến $MA$ , $MB$ tới $(O)$ . Gọi $I$ là trung điểm $AB$ , chứng minh $O, I, M$ thẳng hàng.

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán về hai tiếp tuyến cắt nhau

Vẽ hình càng chính xác càng tốt, ghi chú rõ các điểm và đoạn cần thiết.
Luôn nhớ hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn bằng nhau ( $MA = MB$ ).
Dùng định lý Pytago cho tam giác vuông tạo bởi tâm tròn – tiếp điểm – điểm ngoài đường tròn.
Chú ý các hệ thức góc vuông và đồng dạng tam giác có thể khai thác.
Khi gặp biến thể, hãy đặt thêm các đường phụ hoặc điểm trung gian để áp dụng được các tính chất đã học.

Blog

Chiến lược giải bài toán về tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về bài toán tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

2. Đặc điểm nhận diện bài toán và ý nghĩa thực tiễn

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh hoạ

5. Công thức và kỹ thuật cần ghi nhớ

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

7. Bài tập mẫu giải chi tiết

8. Bài tập tự luyện

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán về hai tiếp tuyến cắt nhau

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Blog

1. Giới thiệu về bài toán tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

2. Đặc điểm nhận diện bài toán và ý nghĩa thực tiễn

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh hoạ

5. Công thức và kỹ thuật cần ghi nhớ

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

7. Bài tập mẫu giải chi tiết

8. Bài tập tự luyện

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán về hai tiếp tuyến cắt nhau

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Theo dõi chúng tôi tại

Nhận thông tin mới nhất về chúng tôi