Blog

Hướng dẫn chiến lược giải bài toán Vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9

T
Tác giả
5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán xác định vị trí tương đối của hai đường tròn là một chủ đề quan trọng trong hình học 9, thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, đề thi vào 10 và bài tập nâng cao. Dạng toán này giúp học sinh củng cố tư duy hình học và khả năng vận dụng công thức tính toán vị trí. Với hơn 42.226+ bài tập miễn phí, bạn có cơ hội luyện tập thoải mái để thành thạo dạng bài này.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

  • Đề bài thường cho hai đường tròn với tâm, bán kính cụ thể hoặc ẩn.
  • Từ khóa cần chú ý: “vị trí tương đối”, “tiếp xúc”, “cắt nhau”, “rời nhau”, “đồng tâm”.
  • Khác với bài tìm giao điểm hoặc phương trình tiếp tuyến, bài này tập trung vào khoảng cách giữa hai tâm và bán kính.

2.2 Kiến thức cần thiết

  • Công thức khoảng cách giữa hai điểm: d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.
  • Định nghĩa và tính chất của đường tròn, khái niệm tiếp xúc trong hình học.
  • Hiểu ý nghĩa của từng vị trí tương đối: tiếp xúc ngoài, tiếp xúc trong, cắt nhau, rời nhau, giao nhau.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

  • Đọc kỹ đề, xác định rõ các thông tin: tọa độ tâm, bán kính, yêu cầu xác định vị trí.
  • Liệt kê các dữ kiện cho sẵn và tìm dữ liệu cần thiết (khoảng cách tâm, bán kính).

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

  • Lựa chọn phương pháp: So sánhddvớiR+rR + r,Rr|R - r|, kiểm tra dấu hiệu đặc biệt (đồng tâm...).
  • Sắp xếp các bước: Tínhdd→ so sánh với bán kính → rút ra kết luận.
  • Dự đoán loại vị trí sẽ gặp (cắt, tiếp xúc, rời).

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

  • Áp dụng công thức: Tínhdd,RR,rr.
  • So sánh cẩn thận, chú ý tuyệt đối hoá hiệu bán kính.
  • Kết luận vị trí và kiểm tra lại kết quả.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

Bước chính: Tính khoảng cáchddgiữa hai tâm rồi so sánh vớiR+rR + rRr|R - r| để phân loại:

  • d>R+rd > R + r: Hai đường tròn rời nhau.
  • d=R+rd = R + r: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài.
  • Rr<d<R+r|R - r| < d < R + r: Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm.
  • d=Rrd = |R - r|: Hai đường tròn tiếp xúc trong.
  • d<Rrd < |R - r|: Hai đường tròn nằm trong nhau, không cắt nhau.

Ưu điểm: Đơn giản, dễ kiểm tra, áp dụng trực tiếp cho hầu hết đề bài.
Hạn chế: Cần chú ý tới tuyệt đối hoá hiệu bán kính và kiểm tra kỹ các trường hợp ranh giới.

4.2 Phương pháp nâng cao

Có thể thay đổi vị trí hoặc chuyển về đề toán tọa độ, xác định vị trí tương đối khi có nhiều đường tròn bằng hệ phương trình hoặc sử dụng phần mềm hỗ trợ.

  • Dùng đồ thị sơ bộ để hình dung nhanh.
  • Nhớ các trường hợp đặc biệt: đồng tâm (d=0d = 0), bán kính bằng nhau, bán kính rất chênh lệch.
  • Bấm máy tính cẩn thận để tránh sai số khi căn bậc hai.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Cho hai đường tròn(C1):x2+y2=9(C_1): x^2 + y^2 = 9,(C2):(x5)2+y2=16(C_2): (x - 5)^2 + y^2 = 16. Hỏi vị trí tương đối của hai đường tròn?

Phân tích:(C1)(C_1)có tâmO1(0,0)O_1(0,0), bán kínhR1=3R_1 = 3;(C2)(C_2)có tâmO2(5,0)O_2(5,0), bán kínhR2=4R_2 = 4.

Tính khoảng cách giữa hai tâm:

d=(50)2+(00)2=5d = \sqrt{(5-0)^2 + (0-0)^2} = 5

So sánh:R1+R2=7;R1R2=1R_1 + R_2 = 7; |R_1 - R_2| = 1.

1<5<71 < 5 < 7, hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm.

5.2 Bài tập nâng cao

Cho(C1):(x2)2+(y+1)2=25(C_1): (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25,(C2):(x+4)2+(y+1)2=9(C_2): (x + 4)^2 + (y + 1)^2 = 9. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

Phân tích: TâmO1(2,1)O_1(2, -1), bán kínhR1=5R_1 = 5; TâmO2(4,1)O_2(-4, -1), bán kínhR2=3R_2 = 3.

Tính khoảng cách tâm: d=(2+4)2+((1)(1))2=6d = \sqrt{(2 + 4)^2 + ((-1) - (-1))^2} = 6.

R1+R2=8R_1 + R_2 = 8,R1R2=2|R_1 - R_2| = 2.

2<6<82 < 6 < 8, hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm.
Nếu làm bằng cách xét hệ phương trình, có thể tìm được nghiệm của hệ để kiểm tra lại kết quả.

Ưu điểm cách so sánh: nhanh, tổng quát; cách giải hệ phương trình: kiểm chứng chi tiết các trường hợp đặc biệt.

6. Các biến thể thường gặp

Dạng đường tròn đồng tâm, yêu cầu xác định vị trí khi chỉ biết một phần dữ liệu, bài toán về cực trị khoảng cách giữa các tâm để hai đường tròn tiếp xúc hoặc rời nhau,... Cần điều chỉnh phương pháp giải cho phù hợp, chú ý các công thức đặc biệt.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

  • Hay quên dấu giá trị tuyệt đốiR1R2|R_1 - R_2|.
  • Nhầm lẫn các trường hợp:d=R1+R2d = R_1 + R_2(tiếp xúc ngoài) vớid=R1R2d = |R_1 - R_2|(tiếp xúc trong).
  • Khắc phục: Vẽ sơ đồ, ghi lại các công thức dạng bảng.

7.2 Lỗi về tính toán

  • Tính sai căn bậc hai, nhầm dấu++,-khi tính khoảng cách
  • Làm tròn số quá sớm, dẫn đến kết quả sai
  • Phương pháp kiểm tra: thay ngược kết quả vào đề, so sánh lại với dữ kiện.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 42.226+ bài tập cách giải Vị trí tương đối của hai đường tròn miễn phí, không cần đăng ký, luyện tập ngay và theo dõi tiến độ học tập hiệu quả.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

  • Tuần 1: Nắm chắc lý thuyết, công thức, làm đề cơ bản
  • Tuần 2: Làm bài tập nâng cao, nhận diện biến thể
  • Tuần 3: Tổng hợp lỗi sai, luyện tập xen kẽ, đánh giá tiến độ dựa vào số lần trả lời đúng.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".