Chiến lược giải bài toán xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác - Toán 9

1. Giới thiệu về dạng bài toán

- Đặc điểm của bài toán Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: tìm giao điểm ba đường phân giác trong tam giác và độ dài đường kính đường tròn nội tiếp.
- Tần suất xuất hiện: thường gặp trong các đề kiểm tra giữa học kỳ, cuối kỳ và đề thi tuyển sinh lớp 10.
- Tầm quan trọng: kiến thức trọng tâm chương Hình học 9, nền tảng cho các dạng hình học nâng cao.
- Cơ hội luyện tập miễn phí với 100+ bài tập.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

- Dấu hiệu: đề bài yêu cầu “tâm I” hoặc “đường tròn nội tiếp” tam giác ABC.
- Từ khóa: “phân giác”, “giao điểm đường phân giác”, “bán kính nội tiếp”.
- Phân biệt với đường tròn ngoại tiếp: ngoại tiếp qua ba đỉnh, nội tiếp tiếp xúc với ba cạnh.

2.2 Kiến thức cần thiết

- Định lý: tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm ba đường phân giác trong.
- Công thức tính bán kính: $r=\frac{\Delta}{p}$, với $p=\frac{a+b+c}{2}$và $\Delta=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.
- Kỹ năng: tính diện tích tam giác, áp dụng định lý phân giác, tính toán bậc cao.
- Mối liên hệ: chủ đề diện tích, tỉ số lượng giác (lớp 10).

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

- Đọc kỹ yêu cầu: xác định tâm I và bán kính r.
- Xác định cho trước: độ dài các cạnh hoặc toạ độ đỉnh.
- Phân loại: dùng đường phân giác hay công thức r.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

- Chọn phương pháp: phân giác giao điểm hay công thức diện tích.
- Sắp xếp bước: tính p → Δ → r, hoặc vẽ phân giác → giao điểm.
- Dự đoán dạng kết quả: toạ độ I hoặc biểu thức r.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

- Áp dụng công thức và định lý.
- Tính toán cẩn thận từng bước, ghi rõ p, Δ, r.
- Kiểm tra kết quả: r>0, I nằm bên trong tam giác.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

- Vẽ tam giác, kẻ ba đường phân giác nội.
- Tâm I là giao điểm; vẽ đường vuông góc từ I đến cạnh để tính r.
- Ưu điểm: trực quan, áp dụng mọi trường hợp.
- Hạn chế: vẽ khó chính xác, không dùng khi chỉ cho số liệu đại số.

4.2 Phương pháp nâng cao

- Dùng công thức: $r=\frac{\Delta}{p}$, với $p=\frac{a+b+c}{2}$và $\Delta=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.
- Tâm I theo toạ độ: $I\Bigl(\frac{a x_A + b x_B + c x_C}{a+b+c},\;\frac{a y_A + b y_B + c y_C}{a+b+c}\Bigr).$
- Ưu điểm: nhanh với số liệu, ít vẽ.
- Mẹo nhớ: r tỉ lệ nghịch p, I là trung bình có trọng số theo độ dài cạnh.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 6. Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp.

Lời giải:
- Tam giác đều nên tâm I trùng giao điểm các phân giác, cũng là trọng tâm: I có toạ độ trung bình các đỉnh.
- Với A(0,0), B(6,0), C\bigl(3,3\sqrt{3}\bigr): $I\bigl(\tfrac{0+6+3}{3},\tfrac{0+0+3\sqrt{3}}{3}\bigr)=(3,\sqrt{3}).$
- Bán kính: $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}.$

5.2 Bài tập nâng cao

Đề bài: Cho tam giác ABC với A(0,0), B(4,0), C(0,3). Tìm tâm I và bán kính r của đường tròn nội tiếp.

Lời giải phương pháp 1 (toạ độ có trọng số):
- Độ dài cạnh:$a=BC=5$,$b=CA=3$,$c=AB=4$.
- Toạ độ I:$I\Bigl(\frac{a x_A + b x_B + c x_C}{a+b+c},\frac{a y_A + b y_B + c y_C}{a+b+c}\Bigr)=\bigl(1,1\bigr).$
- Diện tích:$\Delta=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3=6$,$p=\frac{4+3+5}{2}=6$nên$r=\frac{6}{6}=1$.
Phương pháp 2 (công thức Heron): tính$p,\Delta$tương tự, rồi$r=\frac{\Delta}{p}=1$.

6. Các biến thể thường gặp

- Tam giác cho toạ độ, cho độ dài hai cạnh và góc xen giữa.
- Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp một số tứ giác có incircle.
- Điều chỉnh: dùng công thức diện tích theo 1 góc, tích bán kính nội tiếp và ngoại tiếp.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

- Chọn sai công thức: dùng công thức ngoại tiếp cho nội tiếp.
- Áp dụng định lý phân giác không đúng: quên tỉ lệ chia cạnh.
- Khắc phục: ghi chú rõ công thức, vẽ hình và đánh dấu thông tin.

7.2 Lỗi về tính toán

- Sai sót trong tính Heron: quên khai căn.
- Lỗi làm tròn số trước khi tính tiếp.
- Phương pháp kiểm tra: so sánh kết quả từ hai phương pháp khác nhau.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 100+ bài tập cách giải Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức và theo dõi tiến độ!

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

- Tuần 1: Ôn định nghĩa, vẽ hình và nhận biết dấu hiệu bài toán.
- Tuần 2: Luyện bài cơ bản: phân giác và toạ độ.
- Tuần 3: Luyện bài nâng cao: Heron, công thức trọng số.
- Tuần 4: Ôn tập tổng hợp, kiểm tra kết quả từ hai phương pháp.
- Mục tiêu: thành thạo xác định tâm, tính r nhanh và chính xác.